\log_x(6x^{\log_5 x} - 5) = 2\log_5 x denklemini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı kaç… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_x(6x^{\log_5 x} - 5) = 2\log_5 x

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 5.2

Denklemi sağlayan geçerli

x

gerçel sayılarının toplamı

5,2

(veya

\frac{26}{5}

) olarak bulunur.

Denklemin çözümünden elde edilen geçerli kökler

x = 5

x = 1/5

değerleridir. Bu iki kökün toplamı

5 + 1/5 = 5,2

olur.

x = 1

değeri ise logaritmanın tabanını 1 yaptığı için çözüm kümesinden çıkarılır.

Tanım kümesi analizi yapmak

x > 0

x \neq 1

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın pozitif ve 1'den farklı olması gerekir.

Denklemi üstel forma dönüştürmek

6x^{\log_5 x} - 5 = x^{2\log_5 x}

\log_b(a) = c \iff a = b^c

temel tanımını uygulamak.

Değişken değiştirme ve üstel ifadeleri düzenlemek

y = 5^{t^2}

dönüşümüyle

6y - 5 = y^2

elde edilmesi

\log_5 x = t \implies x = 5^t

yazarak

x^{\log_5 x} = 5^{t^2}

x^{2\log_5 x} = (5^{t^2})^2

ilişkisini kurmak.

İkinci dereceden denklemi çözmek

y = 5

veya

y = 1

y^2 - 6y + 5 = 0 \implies (y-5)(y-1) = 0

çarpanlara ayırma yöntemiyle çözüme ulaşmak.

Kökleri kontrol etmek ve tanım kümesine uygunluğunu sorgulamak

x = 5

x = 1/5

geçerli köklerdir;

x = 1

elenir.

x=1

kökü logaritmanın tabanını 1 yapacağı için logaritma tanımına aykırıdır.

Köklerin toplamını bulmak

5 + 1/5 = 5,2

Soruda istenen gerçel sayı köklerinin toplamını hesaplamak.

Logaritma ve Üstel Denklemlerde Değişken Değiştirme ve Taban Tanım Kümesi Kısıtlamaları

Soru