Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x−2(x2−4x+3)=log⁡x−2(x−3)+2\log_{x-2}(x^2 - 4x + 3) = \log_{x-2}(x-3) + 2 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
  1. 5+52\frac{5+\sqrt{5}}{2}Cevap
  2. B
    55
  3. C
    88
  4. D
    5−52\frac{5-\sqrt{5}}{2}
  5. E
    33

Cevap

Denklemi sağlayan tek gerçel kök (5 + kök 5) / 2 olduğundan, kökler toplamı bu değerdir.
Denklemin tanım kümesi x>3x > 3 aralığıdır. Cebirsel çözüm aşamalarında elde edilen aday köklerden x=3x = 3 (tabanı 1, argümanları 0 yapar) ve x=5−52≈1,38x = \frac{5-\sqrt{5}}{2} \approx 1,38 (argümanları ve tabanı negatif yapar) değerleri tanım kümesi dışında kalır. Koşulları sağlayan tek gerçel kök 5+52\frac{5+\sqrt{5}}{2} olduğundan, gerçel köklerin toplamı da bu değere eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek için taban ve argüman koşullarını yazarız.
Taban için x−2>0x-2 > 0 ve x−2≠1  ⟹  x>2x-2 \neq 1 \implies x > 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır. Birinci argüman için x2−4x+3>0  ⟹  (x−1)(x−3)>0  ⟹  x<1x^2 - 4x + 3 > 0 \implies (x-1)(x-3) > 0 \implies x < 1 veya x>3x > 3 olmalıdır. İkinci argüman için x−3>0  ⟹  x>3x-3 > 0 \implies x > 3 olmalıdır. Tüm bu koşulların kesişimi alındığında denklemin tanım kümesi x>3x > 3 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanlarının ise pozitif olması gerekir.
2
Denklemin sağ tarafındaki sabit terimi logaritma tabanına uygun olarak yazıp ifadeleri tek bir logaritma altında birleştiririz.
2=log⁡x−2((x−2)2)2 = \log_{x-2}((x-2)^2) yazılır. Sağ taraf: log⁡x−2(x−3)+log⁡x−2((x−2)2)=log⁡x−2((x−3)(x−2)2)\log_{x-2}(x-3) + \log_{x-2}((x-2)^2) = \log_{x-2}((x-3)(x-2)^2) haline gelir.
Logaritma toplama özelliğini (aynı tabandaki toplamları çarpım biçimine dönüştürme) uygulayabilmek için sabit terimi logaritmik biçimde yazarız.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma ifadelerinin tabanları aynı olduğundan argümanları birbirine eşitleriz.
x2−4x+3=(x−3)(x−2)2  ⟹  (x−1)(x−3)=(x−3)(x−2)2x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-2)^2 \implies (x-1)(x-3) = (x-3)(x-2)^2 elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun bire bir olma özelliğini kullanarak argümanları eşitleriz.
4
Elde edilen cebirsel denklemi çarpanlarına ayırarak çözeriz.
(x−3)⋅[(x−1)−(x−2)2]=0  ⟹  (x−3)⋅[x−1−(x2−4x+4)]=0  ⟹  (x−3)(x2−5x+5)=0(x-3) \cdot [(x-1) - (x-2)^2] = 0 \implies (x-3) \cdot [x-1 - (x^2 - 4x + 4)] = 0 \implies (x-3)(x^2 - 5x + 5) = 0 bulunur. Buradan x=3x=3 veya x2−5x+5=0x^2 - 5x + 5 = 0 elde edilir. İkinci dereceden denklemin kökleri diskriminant yöntemiyle x=5±52x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} olarak bulunur.
Denklemin tüm olası kök adaylarını belirlemek için ortak çarpan parantezine alma yöntemini uygularız.
5
Bulunan aday köklerin tanım kümesine (x>3x > 3) uygunluğunu kontrol ederiz.
x=3x = 3 değeri tanım kümesinde değildir. Köklerden x=5−52≈1,38<3x = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1,38 < 3 olduğundan tanım kümesini sağlamaz. Diğer kök x=5+52≈3,62>3x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx 3,62 > 3 olduğundan tanım kümesini sağlar. Denklemi sağlayan tek gerçel kök x=5+52x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}'dir.
Logaritmik denklemlerde bulunan köklerin başlangıçtaki tanım kümesi şartlarını sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban ve argüman tanım kümelerinin belirlenmesi ve yalancı köklerin elenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru