Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYarım Açı Formülleri
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2θ)−1+sin⁡(2θ)=65\sqrt{1 - \sin(2\theta)} - \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{6}{5}
olduğuna göre, sin⁡(4θ)\sin(4\theta) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. 336625\frac{336}{625}Cevap
  2. B
    −336625-\frac{336}{625}
  3. C
    168625\frac{168}{625}
  4. D
    −168625-\frac{168}{625}
  5. E
    −725-\frac{7}{25}

Cevap

Üç yüz otuz altı bölü altı yüz yirmi beş
Kareköklü ifadelerin tam kareye açılımı yapılıp verilen bölgede sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin\theta + \cos\theta > 0 olduğu tespit edilerek mutlak değerden doğru çıkarıldığında cos⁡θ=−35\cos\theta = -\frac{3}{5} bulunur. Buradan iki kez yarım açı formülü uygulanarak ulaşılan üç yüz otuz altı bölü altı yüz yirmi beş değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadelerin içini tam kare formuna dönüştürün.
1−sin⁡(2θ)=sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=(sin⁡θ−cos⁡θ)21 - \sin(2\theta) = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (\sin\theta - \cos\theta)^2 ve 1+sin⁡(2θ)=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)21 + \sin(2\theta) = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^2 elde edilir. Buradan ifade (sinθ−cos⁡θ)2−(sin⁡θ+cos⁡θ)2=65\sqrt{(\\sin\theta - \cos\theta)^2} - \sqrt{(\sin\theta + \cos\theta)^2} = \frac{6}{5} halini alır.
1=sin⁡2θ+cos⁡2θ1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta özdeşliği ve sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta kullanılarak ifadeler düzenlenir.
2
Açının bulunduğu aralığı dikkate alarak ifadeleri mutlak değer dışına çıkarın.
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında sin⁡θ>0\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 olur ve mutlak değer dışına aynen çıkar: sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta. Aynı aralıkta sin⁡θ>∣cos⁡θ∣\sin\theta > |\cos\theta| olduğundan sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin\theta + \cos\theta > 0 olur ve dışarı aynen çıkar: sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta + \cos\theta.
Kareköklü ifadelerin derecesi çift olduğundan dışarıya mutlak değer içinde çıkarlar ve işaret analizi yapılması gerekir.
3
Denklemi sadeleştirip cos⁡θ\cos\theta değerini çekin.
(sin⁡θ−cos⁡θ)−(sin⁡θ+cos⁡θ)=65  ⟹  −2cos⁡θ=65  ⟹  cos⁡θ=−35(\sin\theta - \cos\theta) - (\sin\theta + \cos\theta) = \frac{6}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{6}{5} \implies \cos\theta = -\frac{3}{5} bulunur.
Mutlak değerden çıkarılan terimler denklemde yerine yazılarak sin⁡θ\sin\theta terimleri sadeleştirilir.
4
sin⁡θ\sin\theta değerini hesaplayın.
θ\theta ikinci bölgede olduğundan sinüs değeri pozitiftir. Dik üçgen yardımıyla veya sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğinden sin⁡θ=45\sin\theta = \frac{4}{5} bulunur.
2θ2\theta açısının yarım açı açılımı için hem sinüs hem de kosinüs değerlerine ihtiyaç vardır.
5
2θ2\theta açısının trigonometrik değerlerini yarım açı formülleriyle hesaplayın.
sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅(45)⋅(−35)=−2425\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} ve cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1=2⋅(−35)2−1=−725\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{25} bulunur.
sin⁡(4θ)\sin(4\theta) değerini hesaplamak için sin⁡(2θ)\sin(2\theta) ve cos⁡(2θ)\cos(2\theta) değerleri gereklidir.
6
sin⁡(4θ)\sin(4\theta) değerini bulmak için yarım açı formülünü tekrar uygulayın.
sin⁡(4θ)=2sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=2⋅(−2425)⋅(−725)=336625\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) = 2 \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{336}{625} elde edilir.
4θ4\theta açısı 2θ2\theta cinsinden yazılıp sinüs yarım açı açılımı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kareköklü trigonometrik ifadelerin sınır değerlerine göre mutlak değer dışına çıkarılması ve ardışık yarım açı formüllerinin uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru