Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Boyutta Hareket

Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda, yatay düzlem üzerindeki bir noktadan eğik olarak fırlatılan bir cismin hareketi boyunca hız vektörü ile ivme vektörü arasındaki açı en az 53∘53^\circ olmaktadır.

Cismin çıkabildiği maksimum yükseklik 45 m45\text{ m} olduğuna göre, cismin fırlatıldığı noktadan tekrar yere düşene kadar yatayda aldığı yol (menzili) kaç metredir?

(Yer çekimi ivmesini g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2, sin⁡(37∘)=0,6\sin(37^\circ) = 0,6 ve cos⁡(37∘)=0,8\cos(37^\circ) = 0,8 alınız.)

Cevap: 240 m

Cevap

Cismin yatayda aldığı yol (menzili) 240 metredir.
Eğik atışta yer çekimi ivme vektörü her zaman düşey doğrultuda aşağı yönlüdür. Hız ile yer çekimi ivme vektörü arasındaki açının minimum olduğu durum, cismin yere çarptığı (inişin sonlandığı) andır. Bu açı 53∘53^\circ olduğuna göre fırlatılma açısı 37∘37^\circ bulunur. Maksimum yükseklik 45 m45\text{ m} olduğuna göre düşey ilk hız 30 m/s30\text{ m/s}, toplam havada kalma süresi ise 6 s6\text{ s} olur. Fırlatılma açısı 37∘37^\circ olduğundan yatay hız bileşeni 40 m/s40\text{ m/s}'dir. Bu durumda yatayda alınan yol 40×6=240 m40 \times 6 = 240\text{ m} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hız ve ivme vektörleri arasındaki açının minimum olduğu durumu analiz ederek fırlatılma açısını belirlemek.
Fırlatılma açısı θ0=37∘\theta_0 = 37^\circ olarak bulunur.
E��ik atış hareketinde ivme vektörü her zaman yer çekimi ivmesidir (g⃗\vec{g}) ve düşey aşağı yönlüdür. Hız ile ivme vektörü arasındaki açı hareket boyunca azalır ve cismin yere çarpma anında minimum değerine ulaşır. Bu açı 90∘−θ0=53∘90^\circ - \theta_0 = 53^\circ olduğundan θ0=37∘\theta_0 = 37^\circ bulunur.
2
Maksimum yükseklik formülü yardımıyla düşey ilk hız bileşenini hesaplamak.
Düşey ilk hız bileşeni v0y=30 m/sv_{0y} = 30\text{ m/s} olarak bulunur.
Cismin maksimum yüksekliği hmax⁡=v0y22gh_{\max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} formülüyle verilir. Değerler yerine yazıldığında 45=v0y22045 = \frac{v_{0y}^2}{20} eşitliğinden v0y=30 m/sv_{0y} = 30\text{ m/s} elde edilir.
3
İlk hız büyüklüğünü ve yatay ilk hız bileşenini hesaplamak.
Yatay ilk hız bileşeni v0x=40 m/sv_{0x} = 40\text{ m/s} olarak bulunur.
Düşey hız bileşeni v0y=v0sin⁡(37∘)v_{0y} = v_0 \sin(37^\circ) olduğundan 30=v0×0,6  ⟹  v0=50 m/s30 = v_0 \times 0,6 \implies v_0 = 50\text{ m/s} olur. Buradan yatay hız bileşeni v0x=v0cos⁡(37∘)=50×0,8=40 m/sv_{0x} = v_0 \cos(37^\circ) = 50 \times 0,8 = 40\text{ m/s} olarak hesaplanır.
4
Cismin uçuş süresini hesaplamak.
Uçuş süresi tuc¸us¸=6 st_{\text{uçuş}} = 6\text{ s} olarak bulunur.
Cismin havada kalma süresi tuc¸us¸=2v0ygt_{\text{uçuş}} = \frac{2 v_{0y}}{g} formülüyle hesaplanır. Değerler yazıldığında tuc¸us¸=2×3010=6 st_{\text{uçuş}} = \frac{2 \times 30}{10} = 6\text{ s} olur.
5
Menzil formülü ile cismin yatayda aldığı yolu hesaplamak.
Menzil (yatayda alınan yol) x=240 mx = 240\text{ m} olarak bulunur.
Yatay doğrultuda cisim sabit hızlı hareket yaptığından, menzil x=v0x×tuc¸us¸x = v_{0x} \times t_{\text{uçuş}} bağıntısıyla bulunur. Buradan x=40×6=240 mx = 40 \times 6 = 240\text{ m} elde edilir.

Anahtar Kavram

Eğik atış hareketinde hız ve ivme vektörlerinin analizi, maksimum yükseklik ve menzil hesaplamaları.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Boyutta Hareket

Bu konudan daha fazla soru