Examkin

Soru

Zorluk: KolayÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x+2)+log⁡2(x−1)=2\log_2(x + 2) + \log_2(x - 1) = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. \{2\}Cevap
  2. B
    \{-3, 2\}
  3. C
    \{-3\}
  4. D
    {32}\left\{\frac{3}{2}\right\}
  5. E
    {12}\left\{\frac{1}{2}\right\}

Cevap

Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi yalnızca 2 elemanından oluşan \{2\} kümesidir.
Doğru seçenekte verilen küme yalnızca 2 elemanını içerir. Denklemi çözerken logaritma özelliklerinden (x+2)(x−1)=4  ⟹  x2+x−6=0(x+2)(x-1) = 4 \implies x^2 + x - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x=−3x = -3 ve x=2x = 2 bulunur. Logaritmanın tanım kümesi gereği iç kısımlar pozitif olmalıdır. x=−3x = -3 için logaritmaların içi negatif olduğundan bu kök alınamaz, sadece x=2x = 2 kökü geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli koşulları (tanım kümesini) belirleyin.
x+2>0  ⟹  x>−2x + 2 > 0 \implies x > -2 ve x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 olup, ortak tanım kümesi x>1x > 1 olarak bulunur.
Logaritmanın tanım kümesi gereği taban ve argüman pozitif olmalıdır.
2
Logaritmanın toplama özelliğini (log⁡a(b)+log⁡a(c)=log⁡a(b⋅c)\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)) kullanarak sol tarafı tek bir logaritma altında birleştirin.
log⁡2((x+2)(x−1))=2\log_2((x + 2)(x - 1)) = 2
Aynı tabandaki iki logaritmanın toplamı, içlerinin çarpımının logaritmasına eşittir.
3
Logaritma tanımını kullanarak denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürün ve ��özün.
(x+2)(x−1)=22  ⟹  x2+x−2=4  ⟹  x2+x−6=0  ⟹  (x+3)(x−2)=0(x + 2)(x - 1) = 2^2 \implies x^2 + x - 2 = 4 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0 Buradan kökler x=−3x = -3 ve x=2x = 2 elde edilir.
log⁡a(y)=b  ⟹  y=ab\log_a(y) = b \implies y = a^b özelliğinden yararlanarak logaritmayı kaldırıp cebirsel denklemi çözmek gerekir.
4
Elde edilen köklerin tanım kümesini sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=−3x = -3 değeri x>1x > 1 koşulunu sağlamaz (tanımsızlık yaratır). x=2x = 2 değeri ise x>1x > 1 koşulunu sağlar. Dolayısıyla çözüm kümesi {2}\{2\} olur.
Bulunan köklerin orijinal denklemde tanımlı olup olmadığını denetlemek zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde logaritma özelliklerinin kullanılması ve bulunan köklerin tanım kümesi sınırlarına göre kontrol edilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru