Examkin

Soru

Zorluk: KolayToplam ve Fark Formülleri
x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} olmak üzere,
cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y=32\cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y = \frac{\sqrt{3}}{2}
olduğuna göre, tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin alabileceği pozitif değer aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. 33\frac{\sqrt{3}}{3}Cevap
  3. C
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. D
    3\sqrt{3}
  5. E
    11

Cevap

33\frac{\sqrt{3}}{3}
Verilen ifade kosinüsün toplam formülü olan cos⁡(x+y)\cos(x+y) ifadesine eşittir. Buradan cos⁡(x+y)=32\cos(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} bulunur. Kosinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan dar açının ölçüsü 30∘30^\circ olduğundan, bu açının tanjant değeri 33\frac{\sqrt{3}}{3} olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru seçenek 33\frac{\sqrt{3}}{3} değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs toplam formülünü uygulayarak verilen ifadeyi sadeleştirin.
cos⁡(x+y)=cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y formülü gereği, verilen denklem cos⁡(x+y)=32\cos(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} şeklinde yazılır.
Verilen karmaşık ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek için toplam formülü kullanılır.
2
Kosinüs değeri 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan açının tanjant değerini bulun.
cos⁡(x+y)=32\cos(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} ise, x+yx+y açısının dar açı olduğu durumda x+y=30∘x+y = 30^\circ (veya π6\frac{\pi}{6} radyan) olur. Bu açının tanjantı ise tan⁡(30∘)=13=33\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur. Eğer açı 4. bölgede ise tanjant değeri −33-\frac{\sqrt{3}}{3} olur. Soruda pozitif değer istendiği için sonuç 33\frac{\sqrt{3}}{3}'tür.
Kosinüs değeri bilinen bir açının tanjant değerine geçiş yapmak için özel dik üçgen veya trigonometrik kimlikler kullanılır.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam formülü ve bilinen açıların trigonometrik oranları
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru