Examkin

Soru

Zorluk: OrtaToplam ve Fark Formülleri
α\alpha ve β\beta birer dar açı olmak üzere,
tan⁡α=2\tan \alpha = 2
cos⁡β=35\cos \beta = \frac{3}{5}
olduğuna göre, sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) değeri kaçtır?
  1. A
    55\frac{\sqrt{5}}{5}
  2. 255\frac{2\sqrt{5}}{5}Cevap
  3. C
    355\frac{3\sqrt{5}}{5}
  4. D
    2525\frac{2\sqrt{5}}{25}
  5. E
    11525\frac{11\sqrt{5}}{25}

Cevap

255\frac{2\sqrt{5}}{5}
Sinüs toplam formülü olan sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta kullanıldığında, tan⁡α=2\tan \alpha = 2 ve cos⁡β=3/5\cos \beta = 3/5 değerlerinden elde edilen sin⁡α=2/5\sin \alpha = 2/\sqrt{5}, cos⁡α=1/5\cos \alpha = 1/\sqrt{5} ve sin⁡β=4/5\sin \beta = 4/5 değerleri yerine yazılarak 255\frac{2\sqrt{5}}{5} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik değerlerden yola çıkarak dar açıların diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
tan⁡α=2  ⟹  sin⁡α=25\tan \alpha = 2 \implies \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} ve cos⁡α=15\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} elde edilir. cos⁡β=35  ⟹  sin⁡β=45\cos \beta = \frac{3}{5} \implies \sin \beta = \frac{4}{5} (3-4-5 dik üçgeninden) elde edilir.
Toplam formülünde kullanabilmek için her iki açının da sinüs ve kosinüs değerlerine ihtiyacımız vardır.
2
Sinüs toplam formülünü yazalım ve bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
sin⁡(α+β)=sin⁡α⋅cos⁡β+cos⁡α⋅sin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta formülünde değerleri yerine yazarsak:
sin⁡(α+β)=(25)⋅(35)+(15)⋅(45)\sin(\alpha + \beta) = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) olur.
İki açının toplamının sinüsünü bulmak için toplam formülü uygulanmalıdır.
3
Rasyonel ifadelerde çarpma ve toplama işlemlerini gerçekleştirelim.
sin⁡(α+β)=655+455=1055=25\sin(\alpha + \beta) = \frac{6}{5\sqrt{5}} + \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} elde edilir.
Ortak paydada toplama işlemi yapılarak ifade sadeleştirilir.
4
Elde edilen sonucu paydasını rasyonel yaparak düzenleyelim.
25=255\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} bulunur.
Seçeneklerdeki köklü ifade formatına uymak için payda 5\sqrt{5} ile genişletilir.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının sinüsü, bu açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin çarpımlarının toplamına eşittir: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru