x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere, \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(8x)}}}{\c… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)

olmak üzere,

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(8x)}}}{\cos(2x)} = 3\tan(2x)

olduğuna göre,

13\sin(4x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 12

İfadenin değeri 12 olarak bulunur.

Verilen aralıkta kosinüs değerleri pozitif olduğundan, kareköklü ifadeler mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar. Sadeleştirmeler sonucunda

\tan(2x) = 2/3

bulunur. Sinüsün yarım açı formülü kullanılarak

\sin(4x) = 12/13

elde edilir ve buradan

13\sin(4x) = 12

sonucuna ulaşılır.

En içteki kareköklü ifadeyi yarım açı formülü kullanarak basitleştirme

\sqrt{2 + 2\cos(8x)} = 2\cos(4x)

1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta

özdeşliği ve

x \in (0, \pi/8)

için

4x \in (0, \pi/2)

olduğundan

\cos(4x) > 0

olması.

Dıştaki kareköklü ifadeyi basitleştirme

\sqrt{2 + 2\cos(4x)} = 2\cos(2x)

1 + \cos(4x) = 2\cos^2(2x)

özdeşliği ve

2x \in (0, \pi/4)

aralığında

\cos(2x) > 0

olması.

Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazarak

\tan(2x)

değerini bulma

\tan(2x) = \frac{2}{3}

\cos(2x) \neq 0

olduğundan pay ve paydadaki

\cos(2x)

terimlerinin sadeleşmesi.

\sin(4x)

değerini yarım açı formülüyle

\tan(2x)

cinsinden hesaplama

\sin(4x) = \frac{12}{13}

\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}

formülünde

\theta = 2x

yazılması.

13\sin(4x)

değerini hesaplama

13 \cdot \frac{12}{13} = 12

işleminin yapılması.

Kosinüs yarım açı formülleri ile kareköklü ifadelerin sadeleştirilmesi ve sinüs yarım açı formüllerinin uygulanması.

Soru