Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(3x)cos⁡x+sin⁡(3x)sin⁡x=3\frac{\cos(3x)}{\cos x} + \frac{\sin(3x)}{\sin x} = 3
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    −18-\frac{1}{8}
  2. B
    916\frac{9}{16}
  3. 18\frac{1}{8}Cevap
  4. D
    38\frac{3}{8}
  5. E
    513\frac{5}{13}

Cevap

İfadenin doğru değeri 18\frac{1}{8}'dir.
Verilen denklemde payda eşitlendikten sonra pay kısmında sinüs toplam formülü yardımıyla sin⁡(4x)\sin(4x) ve paydada sinüs yarım açı formülü yardımıyla 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) elde edilir. Bu ifadeler oranlandığında 4cos⁡(2x)=34\cos(2x) = 3 eşitliğinden cos⁡(2x)=34\cos(2x) = \frac{3}{4} bulunur. İstenen cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesi kosinüs yarım açı formülüyle açıldığında cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 olur. Burada cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 34\frac{3}{4} yazılarak 18\frac{1}{8} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki rasyonel ifadelerin paydalarını eşitleyelim.
cos⁡(3x)sin⁡x+sin⁡(3x)cos⁡xsin⁡xcos⁡x=3\frac{\cos(3x)\sin x + \sin(3x)\cos x}{\sin x \cos x} = 3
İfadeleri tek bir paydada birleştirerek sadeleştirme yapabilmek için.
2
Pay kısmındaki ifadeyi sinüs toplam formülü, payda kısmındaki ifadeyi ise sin��s yarım açı formülü kullanarak düzenleyelim.
cos⁡(3x)sin⁡x+sin⁡(3x)cos⁡x=sin⁡(3x+x)=sin⁡(4x)\cos(3x)\sin x + \sin(3x)\cos x = \sin(3x + x) = \sin(4x)
sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)
Buradan,
sin⁡(4x)12sin⁡(2x)=3  ⟹  2sin⁡(4x)sin⁡(2x)=3\frac{\sin(4x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 3 \implies \frac{2\sin(4x)}{\sin(2x)} = 3
Trigonometrik ifadeleri daha sade bir forma dönüştürmek için.
3
Paydaki sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine sinüs yarım açı formülünü uygulayarak sadeleştirelim.
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)
2⋅2sin⁡(2x)cos⁡(2x)sin⁡(2x)=3  ⟹  4cos⁡(2x)=3  ⟹  cos⁡(2x)=34\frac{2 \cdot 2\sin(2x)\cos(2x)}{\sin(2x)} = 3 \implies 4\cos(2x) = 3 \implies \cos(2x) = \frac{3}{4}
(Burada x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) olduğundan sin⁡(2x)≠0\sin(2x) \neq 0 olur ve sadeleştirme geçerlidir.)
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini yalnız bırakmak için.
4
Bulduğumuz cos⁡(2x)\cos(2x) değerini kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini kosinüs yarım açı formülüyle hesaplayalım.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1
cos⁡(4x)=2(34)2−1=2(916)−1=98−1=18\cos(4x) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}
Bulunur.
Bizden istenen nihai trigonometrik değeri hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde toplam-fark ve yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirme yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru