Analitik düzlemde A(2, 6) ve B(5, 3) noktaları ile x-ekseni üzerinde yer alan bir P(x, 0) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Analitik düzlemde $A(2, 6)$ ve $B(5, 3)$ noktaları ile $x$ -ekseni üzerinde yer alan bir $P(x, 0)$ noktası veriliyor.

$x > 5$ olmak üzere, $AP$ ve $BP$ doğrularının $x$ -ekseniyle yaptıkları dar açılar sırasıyla $\alpha$ ve $\beta$ 'dır.

\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{8}

olduğuna göre, $P$ noktasının apsisinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

A
20
B
24
31Cevap
D
35
E
43

Cevap

Doğru cevap olan 31, analitik düzlemde doğruların eğimleri yardımıyla dar açıların tanjantlarının sırasıyla

\tan\alpha = \frac{6}{x-2}

\tan\beta = \frac{3}{x-5}

şeklinde ifade edilmesi, ardından tanjant fark formülüyle elde edilen

x^2 - 31x + 220 = 0

denkleminin kökleri olan 11 ve 20 değerlerinin toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

A(2, 6) ve B(5, 3) noktalarından x-ekseni üzerindeki P(x, 0) noktasına çizilen doğruların eğimlerini bulunuz.

m_{AP} = \frac{6 - 0}{2 - x} = -\frac{6}{x - 2}

m_{BP} = \frac{3 - 0}{5 - x} = -\frac{3}{x - 5}

Bir doğrunun eğimi, üzerindeki iki noktanın koordinat farkları oranı ile hesaplanır.

Doğruların x-ekseni ile yaptıkları dar açıların tanjant değerlerini yazınız.

\tan\alpha = \frac{6}{x - 2}

\tan\beta = \frac{3}{x - 5}

x > 5 için doğruların eğimleri negatiftir. Bu doğruların x-ekseniyle yaptıkları dar açıların tanjantları, eğimlerin mutlak değerlerine eşittir.

Tanjant fark formülünü kullanarak denklemi kurunuz.

\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} \Rightarrow \frac{\frac{6}{x - 2} - \frac{3}{x - 5}}{1 + \frac{18}{(x - 2)(x - 5)}} = \frac{1}{8}

Verilen tanjant fark değerini x cinsinden ifade etmek için iki açının farkının tanjant formülü kullanılır.

Denklemi sadeleştirip x değerlerini belirleyiniz ve toplamlarını hesaplayınız.

\frac{3x - 24}{x^2 - 7x + 28} = \frac{1}{8} \Rightarrow x^2 - 31x + 220 = 0 \Rightarrow (x - 11)(x - 20) = 0

Buradan

x = 11

veya

x = 20

elde edilir. Köklerin her ikisi de

x > 5

şartını sağlar. Toplamları:

11 + 20 = 31

Elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek x > 5 şartını sağlayan köklerin toplamı bulunur.

Anahtar Kavram

İki doğrunun arasındaki açının veya x-ekseniyle yaptıkları dar açıların farkının tanjantını bulmak için tanjant fark formülünün analitik düzlemde uygulanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru