Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYarım Açı Formülleri
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak ��zere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=16cos⁡2(2x)\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 16\cos^2(2x)

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

  1. −2+22-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}Cevap
  2. B
    2+22\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
  3. C
    −2−22-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
  4. D
    2−22\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
  5. E
    −22-\frac{\sqrt{2}}{2}

Cevap

−2+22-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} değeri doğru cevaptır.
Verilen denklem payda eşitleme ve ardışık olarak sinüs yarım açı formülleri uygulandığında sin⁡2(4x)=1\sin^2(4x) = 1 denklemine dönüşür. Belirtilen x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında bu eşitliği sağlayan tek kök x=9π8x = \frac{9\pi}{8} açısıdır. Bu açının iki katı olan 2x=9π42x = \frac{9\pi}{4} açısının kosinüsü 22\frac{\sqrt{2}}{2} olup yarım açı formülü yardımıyla cos⁡2x=2+24\cos^2 x = \frac{2+\sqrt{2}}{4} elde edilir. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığından kosinüsü negatiftir ve karekök alındığında negatif olan değer doğru cevap olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde paydaları eşitleyerek sol taraftaki ifadeyi tek bir kesir haline getirin.
cos⁡2x+sin⁡2xsin⁡2x⋅cos⁡2x=1sin⁡2x⋅cos⁡2x\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} elde edilir.
Rasyonel ifadeleri sadeleştirmek ve bilinen trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
Sinüs yarım açı formülünü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x) kullanarak paydayı düzenleyin.
sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} olduğundan, paydadaki ifade sin⁡2xcos⁡2x=sin⁡2(2x)4\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2(2x)}{4} olur. Bu durumda denklemin sol tarafı 4sin⁡2(2x)\frac{4}{\sin^2(2x)} haline gelir.
Farklı açılardaki trigonometrik ifadeleri aynı açı cinsinden yazarak denklemi çözülebilir kılmak amaçlanmıştır.
3
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak içler dışlar çarpımı yapın ve sinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayın.
4sin⁡2(2x)=16cos⁡2(2x)  ⟹  4=16sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)  ⟹  sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)=14\frac{4}{\sin^2(2x)} = 16\cos^2(2x) \implies 4 = 16\sin^2(2x)\cos^2(2x) \implies \sin^2(2x)\cos^2(2x) = \frac{1}{4} elde edilir. sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) formülünün karesini alırsak, sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)=sin⁡2(4x)4\sin^2(2x)\cos^2(2x) = \frac{\sin^2(4x)}{4} olur. Buradan sin⁡2(4x)4=14  ⟹  sin⁡2(4x)=1\frac{\sin^2(4x)}{4} = \frac{1}{4} \implies \sin^2(4x) = 1 bulunur.
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon (sin⁡4x\sin 4x) cinsinden yazarak kökleri bulmayı kolaylaştırmak hedeflenmiştir.
4
xx açısının tanım aralığından yararlanarak 4x4x açısının aralığını belirleyin ve sin⁡(4x)=1\sin(4x) = 1 denklemini çözün.
x∈(π,5π4)  ⟹  4x∈(4π,5π)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) \implies 4x \in (4\pi, 5\pi) olur. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu pozitif değerler aldığından, sin⁡2(4x)=1  ⟹  sin⁡(4x)=1\sin^2(4x) = 1 \implies \sin(4x) = 1 olmalıdır. Buradan 4x=4π+π2=9π2  ⟹  x=9π84x = 4\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} \implies x = \frac{9\pi}{8} bulunur.
Açının bulunduğu bölge, trigonometrik fonksiyonların işaretini ve tam değerini belirlemek için kritiktir.
5
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın ve ardından kosinüs yarım açı formülüyle (cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}) cos⁡x\cos x değerini bulun.
2x=9π4=2π+π42x = \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} olduğundan, cos⁡(2x)=cos⁡(π4)=22\cos(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} olur. Yarım açı formülünden: cos⁡2x=1+222=2+24\cos^2 x = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4} elde edilir. x=9π8x = \frac{9\pi}{8} açısı üçüncü bölgede yer aldığı için kosinüs değeri negatif olmalıdır. Dolayısıyla, cos⁡x=−2+22\cos x = -\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} bulunur.
2x2x açısının kosinüs değerini yarım açı formülüyle xx açısına indirgeyerek nihai sonuca ulaşmak ve bölgeye göre doğru işareti seçmek gerekir.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarında yarım açı formüllerinin uygulanması ve trigonometrik denklemlerde aralığa bağlı olarak bölge ve işaret analizinin yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru