Examkin

Soru

Zorluk: OrtaUyduların Dolanma ve Kurtulma Enerjisi

Mars gezegeninin yüzeyinde durgun hâlde bulunan mm kütleli bir uzay aracı ile Mars'ın çevresinde rr yarıçaplı kararlı dairesel bir yörüngede dolanan mm kütleli bir atmosfer gözlem uydusu bulunmaktadır.

Buna göre; uzay aracı ve gözlem uydusu ile ilgili,

I. Uzay aracının Mars'ın kütle çekim alanından tamamen kurtulması için verilmesi gereken minimum enerji (kurtulma enerjisi), gözlem uydusunu yörüngesinden kurtarmak için gereken minimum enerjiden (bağlanma enerjisinden) büyüktür.
II. Gözlem uydusunun toplam mekanik enerjisi, kinetik enerjisinin mutlak değerine eşittir.
III. Gözlem uydusunun kinetik enerjisi, uydunun sahip olduğu kütle çekim potansiyel enerjisinin mutlak değerinin yarısına eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    II ve III

Cevap

I ve III ifadelerinin yer aldığı seçenektir.
Doğru cevap I ve III ifadelerinin birlikte yer aldığı seçenektir. Gezegen yüzeyindeki uzay aracının kurtulma enerjisi Ekurt=GMmRE_{kurt} = \frac{GMm}{R}, yörüngedeki uydunun bağlanma enerjisi Ebag˘=GMm2rE_{bağ} = \frac{GMm}{2r} olup r>Rr > R ve 2r>R2r > R olduğundan Ekurt>Ebag˘E_{kurt} > E_{bağ} ilişkisi bulunur, bu da I. öncülü doğru yapar. Uydunun kinetik enerjisi Ek=GMm2rE_k = \frac{GMm}{2r} ve kütle çekim potansiyel enerjisi Ep=−GMmrE_p = -\frac{GMm}{r} olup kinetik enerji potansiyel enerjinin mutlak değerinin yarısına eşittir (Ek=∣Ep∣2E_k = \frac{|E_p|}{2}), bu da III. öncülü doğru yapar. Toplam mekanik enerji Etop=−GMm2rE_{top} = -\frac{GMm}{2r} negatif olduğundan, kinetik enerjinin mutlak değerine eşit olamaz (Etop=−∣Ek∣E_{top} = -|E_k|), bu yüzden II. öncül yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Uzay aracının Mars yüzeyindeki kurtulma enerjisini veren bağıntıyı yazalım.
Ekurt=G⋅M⋅mRE_{kurt} = \frac{G \cdot M \cdot m}{R}
Gezegen yüzeyinde durgun hâlde bulunan bir cismin kütle çekim alanından kurtulması için sahip olması gereken minimum enerji, yüzeydeki çekim potansiyel enerjisinin mutlak değerine eşittir.
2
Uydunun yörüngedeki bağlanma enerjisini veren bağıntıyı yazalım.
Ebag˘=G⋅M⋅m2rE_{bağ} = \frac{G \cdot M \cdot m}{2r}
Kararlı dairesel bir yörüngede dolanan uydunun bağlanma enerjisi, uydunun yörüngedeki kinetik enerjisine veya toplam mekanik enerjisinin mutlak değerine eşittir.
3
Kurtulma enerjisi ile bağlanma enerjisini karşılaştıralım.
Uydunun yörünge yarıçapı rr, gezegenin yarıçapı RR'den büyüktür (r>Rr > R). Bu durumda 2r>R2r > R olacağından, paydadaki büyüklük arttıkça enerjinin değeri küçülür. Buradan Ekurt>Ebag˘E_{kurt} > E_{bağ} sonucu çıkar. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Yörünge yarıçapı gezegenin kendi yarıçapından büyük olduğu için paydalar arasındaki ilişkiyi belirleyerek enerji büyüklüklerini kıyaslarız.
4
Gözlem uydusunun toplam mekanik enerjisini ve kinetik enerjisinin mutlak değerini karşılaştırarak II. öncülü inceleyelim.
Uydunun toplam mekanik enerjisi Etop=−G⋅M⋅m2rE_{top} = -\frac{G \cdot M \cdot m}{2r} dir. Kinetik enerjisi ise Ek=G⋅M⋅m2rE_k = \frac{G \cdot M \cdot m}{2r} olup mutlak değeri ∣Ek∣=G⋅M⋅m2r|E_k| = \frac{G \cdot M \cdot m}{2r} dir. Etop<0E_{top} < 0 ve ∣Ek∣>0|E_k| > 0 olduğundan bu iki değer eşit değildir (Etop=−∣Ek∣E_{top} = -|E_k|). Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
Toplam mekanik enerjinin negatif işaretli, kinetik enerjinin ise her zaman pozitif işaretli olduğunu hatırlayarak işaret yönünden karşılaştırma yaparız.
5
Gözlem uydusunun kinetik enerjisi ile potansiyel enerjisinin mutlak değerini karşılaştırarak III. öncülü inceleyelim.
Uydunun kinetik enerjisi Ek=G⋅M⋅m2rE_k = \frac{G \cdot M \cdot m}{2r}, çekim potansiyel enerjisi ise Ep=−G⋅M⋅mrE_p = -\frac{G \cdot M \cdot m}{r} dir. Potansiyel enerjinin mutlak değeri ∣Ep∣=G⋅M⋅mr|E_p| = \frac{G \cdot M \cdot m}{r} olup yarısı ∣Ep∣2=G⋅M⋅m2r\frac{|E_p|}{2} = \frac{G \cdot M \cdot m}{2r} dir. Bu durumda Ek=∣Ep∣2E_k = \frac{|E_p|}{2} eşitliği sağlanır. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.
Uydunun dairesel yörüngedeki kinetik ve potansiyel enerji formüllerini yazarak aralarındaki matematiksel oran ilişkisini kurarız.

Anahtar Kavram

Uyduların dolanma, bağlanma ve kurtulma enerjileri ile kütle çekim potansiyel enerjisi ve kinetik enerjileri arasındaki ilişkiler.
Bu soruyu puanla

Konular

Uyduların Dolanma ve Kurtulma Enerjisi

Bu konudan daha fazla soru