Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorUyduların Dolanma ve Kurtulma Enerjisi

Kütlesi MM olan bir gezegenin çevresinde RR yarıçaplı kararlı dairesel yörüngede dolanmakta olan mm kütleli bir yapay uydunun yörünge yarıçapı, uydunun motorlar�� çalıştırılarak yapılan dış müdahaleyle 3R3R yarıçaplı yeni bir kararlı dairesel yörüngeye çıkarılıyor.

Buna göre, uydunun ilk yörüngeden yeni yörüngesine geçiş süreci ve yeni yörüngesindeki kararlı dolanım hareketi ile ilgili;

I. Bu geçiş sürecinde uydunun açısal momentumu artmıştır.
II. Uydunun bağlanma enerjisi ilk durumuna göre 13\frac{1}{3}'ine inmiştir.
III. Uydunun potansiyel enerjisindeki artış miktarı, kinetik enerjisindeki azalış miktarından fazladır.

yargılarından hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. I, II ve IIICevap

Cevap

Uydunun geçiş sürecinde açısal momentumu artmıştır, bağlanma enerjisi ilk durumuna göre üçte birine inmiştir ve potansiyel enerjisindeki artış miktarı kinetik enerjisindeki azalış miktarından fazladır.
Doğru seçenek; uydunun motorlarının yaptığı iş nedeniyle açısal momentumunun arttığını, bağlanma enerjisinin yarıçapla ters orantılı olarak üçte birine düştüğünü ve potansiyel enerjideki artışın kinetik enerjideki azalıştan fazla olduğunu belirten ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1
Uydunun ilk ve son yörüngelerdeki çizgisel süratlerini ve açısal momentumlarını karşılaştırın.
İlk yörüngede çizgisel sürat v1=GMRv_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}, açısal momentum L1=mv1R=mGMRL_1 = m v_1 R = m\sqrt{GMR} olur. Son yörüngede ise v2=GM3Rv_2 = \sqrt{\frac{GM}{3R}}, açısal momentum L2=mv2(3R)=3mGMRL_2 = m v_2 (3R) = \sqrt{3}m\sqrt{GMR} olur. Bu durumda uydunun açısal momentumu artmıştır.
Yörünge yarıçapını artırmak için uydunun motorları teğetsel yönde kuvvet uygulayarak gezegen merkezine göre net bir dış tork oluşturur; bu da uydunun açısal momentumunun artmasına neden olur.
2
Uydunun bağlanma enerjisindeki değişimi hesaplayın.
İlk yörüngedeki bağlanma enerjisi Ebag˘1=GMm2RE_{bağ1} = \frac{GMm}{2R} iken, yeni yörüngedeki bağlanma enerjisi Ebag˘2=GMm6RE_{bağ2} = \frac{GMm}{6R} olur. Bağlanma enerjisi ilk durumun 13\frac{1}{3}'ine inmiştir.
Bağlanma enerjisi, uydunun toplam mekanik enerjisini sıfır yaparak onu yörüngeden kurtarmak için gereken minimum enerjidir ve Ebag˘=−Etop=GMm2rE_{bağ} = -E_{top} = \frac{GMm}{2r} bağıntısı ile hesaplanır.
3
Uydunun potansiyel ve kinetik enerjilerindeki değişim miktarlarını karşılaştırın.
Potansiyel enerjideki artış ΔEp=Ep2−Ep1=−GMm3R−(−GMmR)=23GMmR\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{2}{3}\frac{GMm}{R} olur. Kinetik enerjideki azalış −ΔEk=Ek1−Ek2=GMm2R−GMm6R=13GMmR-\Delta E_k = E_{k1} - E_{k2} = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{6R} = \frac{1}{3}\frac{GMm}{R} olur. Dolayısıyla potansiyel enerjideki artış, kinetik enerjideki azalıştan fazladır.
Potansiyel enerji Ep=−GMmrE_p = -\frac{GMm}{r} ve kinetik enerji Ek=GMm2rE_k = \frac{GMm}{2r} formülleriyle hesaplanır. Yörünge yarıçapı artarken yapılan iş nedeniyle potansiyel enerjideki artış kinetik enerjideki azalışın iki katı olur.

Anahtar Kavram

Uyduların dolanma, potansiyel, kinetik ve bağlanma enerjileri ile açısal momentum ilişkileri
Bu soruyu puanla

Konular

Uyduların Dolanma ve Kurtulma Enerjisi

Bu konudan daha fazla soru