Examkin

Soru

Zorluk: OrtaUyduların Dolanma ve Kurtulma Enerjisi

Bir gezegenin çevresinde kararlı dairesel yörüngelerde dolanan mm kütleli XX uydusu ile 2m2m kütleli YY uydusunun dolanma yarıçapları sırasıyla rr ve 2r2r'dir.

Buna göre,
I. XX uydusunun bağlanma enerjisi, YY uydusunun kinetik enerjisine eşittir.
II. YY uydusunun kurtulma enerjisi, XX uydusunun kurtulma enerjisine eşittir.
III. Uyduların a��ısal momentum büyüklükleri eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. I ve IICevap
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II yargıları doğrudur.
Yapılan hesaplamalar sonucunda XX uydusunun bağlanma enerjisi ile YY uydusunun kinetik enerjisinin eşit büyüklükte (GMm2r\frac{GMm}{2r}) olduğu görülür. Aynı zamanda, her iki uydunun çekim alanından kurtulması için gereken minimum kurtulma enerjileri de eşit ve GMmr\frac{GMm}{r} kadardır. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Uyduların dolanma hızlarını belirlemek.
Gezegenin kütlesine MM denilirse, kütle çekim kuvveti merkezcil kuvvete eşitlenerek çizgisel hız ifadeleri vX=GMrv_X = \sqrt{\frac{GM}{r}} ve vY=GM2rv_Y = \sqrt{\frac{GM}{2r}} olarak bulunur.
Kinetik enerji ve açısal momentum büyüklüklerini hesaplamak için çizgisel dolanma hızlarının bulunması gerekir.
2
Uyduların kinetik enerjilerini hesaplamak.
Ek,X=12mvX2=GMm2rE_{k,X} = \frac{1}{2} m v_X^2 = \frac{GMm}{2r} ve Ek,Y=12(2m)vY2=12(2m)GM2r=GMm2rE_{k,Y} = \frac{1}{2} (2m) v_Y^2 = \frac{1}{2} (2m) \frac{GM}{2r} = \frac{GMm}{2r} bulunur.
Birinci öncüldeki kinetik enerji eşitliğini doğrulamak amacıyla hesaplanır.
3
Bağlanma enerjilerini bulmak ve birinci öncülü değerlendirmek.
XX uydusunun bağlanma enerjisi, uydunun toplam enerjisinin mutlak değerine eşittir: Ebag,X=−Etop,X=Ek,X=GMm2rE_{bag,X} = -E_{top,X} = E_{k,X} = \frac{GMm}{2r} olur. Bu değer, YY uydusunun kinetik enerjisi olan Ek,Y=GMm2rE_{k,Y} = \frac{GMm}{2r} değerine eşittir. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Bağlanma enerjisinin mekanik enerjiyle olan ilişkisini kurarak birinci öncülü test etmek.
4
Uyduların kurtulma enerjilerini hesaplamak ve ikinci öncülü değerlendirmek.
Uyduların bulundukları konumlardaki kurtulma enerjileri potansiyel enerjilerinin ters işaretlisine eşittir: Ekurt,X=−Ep,X=GMmrE_{kurt,X} = -E_{p,X} = \frac{GMm}{r} ve Ekurt,Y=−Ep,Y=GM(2m)2r=GMmrE_{kurt,Y} = -E_{p,Y} = \frac{GM(2m)}{2r} = \frac{GMm}{r} olur. Değerler birbirine eşittir. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Kurtulma enerjisinin potansiyel enerjiyle olan ilişkisini kullanarak ikinci öncülü test etmek.
5
Açısal momentum büyüklüklerini hesaplamak ve üçüncü öncülü değerlendirmek.
LX=mvXr=mGMrr=mGMrL_X = m v_X r = m \sqrt{\frac{GM}{r}} r = m \sqrt{GMr} ve LY=2mvY(2r)=4mGM2rr=22mGMrL_Y = 2m v_Y (2r) = 4m \sqrt{\frac{GM}{2r}} r = 2\sqrt{2} m \sqrt{GMr} bulunur. Açısal momentum büyüklükleri eşit değildir (LY=22LXL_Y = 2\sqrt{2} L_X). Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.
Açısal momentumun kütle, hız ve yarıçap bağlılığını inceleyerek üçüncü öncülü test etmek.

Anahtar Kavram

Kararlı dairesel yörüngelerde dolanan uyduların kinetik, potansiyel, toplam mekanik, bağlanma ve kurtulma enerjilerinin kütle ve yörünge yarıçapına bağlılığı.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Uyduların Dolanma ve Kurtulma Enerjisi

Bu konudan daha fazla soru