x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere, \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2} oldu… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}

olduğuna göre,

\cos(4x)

değeri kaçtır?

Cevap: 0.875

Doğru cevap

0.875

(veya

\frac{7}{8}

) olarak bulunur.

Verilen ifadenin her iki tarafının karesi alındığında

1 + \sin(2x) = 1.25

eşitliğinden

\sin(2x) = 0.25

elde edilir. Bu değer,

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)

formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç olan

0.875

elde edilir.

Verilen ifadenin her iki tarafının karesini alınız.

(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \implies \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{5}{4}

İfadedeki sinüs ve kosinüs toplamını yarım açı formüllerine dönüştürmek için her iki tarafın karesi alınır.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

özdeşliğini ve

2\sin x \cos x = \sin(2x)

yarım açı formülünü kullanarak ifadeyi düzenleyiniz.

1 + \sin(2x) = \frac{5}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{4}

Elde edilen ifadedeki temel trigonometrik bileşenler sadeleştirilerek

\sin(2x)

yalnız bırakılır.

\cos(4x)

ifadesini yarım açı formülü kullanarak

\sin(2x)

cinsinden yazınız ve değeri hesaplayınız.

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = \frac{7}{8} = 0.875

Kosinüsün yarım açı formülü

\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a)

bağıntısı

a = 2x

için uygulanarak sonuca ulaşılır.

Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerinin cebirsel ifadelerin çözümünde kullanılması.

\sin(2x) = \frac{1}{4}

değeri bulunduktan sonra,

2x

açısına ait dik üçgen çizilerek komşu kenar

\sqrt{15}

birim bulunur. Buradan

\cos(2x) = \frac{\sqrt{15}}{4}

elde edilir.

\cos(4x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x)

yarım açı formülü kullanılarak

\cos(4x) = \frac{15}{16} - \frac{1}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} = 0.875

olarak hesaplanabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru