Examkin

Soru

Zorluk: ZorToplam ve Fark Formülleri
x+y=3π4x + y = \frac{3\pi}{4}

olmak üzere,

tan⁡x−cot⁡y=52\tan x - \cot y = \frac{5}{2}

olduğuna göre, tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımının değeri kaçtır?

Cevap: 1.5

Cevap

İşlemler sonucunda tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımının değeri 1.51.5 (veya 32\frac{3}{2}) olarak bulunur.
Soruda verilen x+y=3π4x + y = \frac{3\pi}{4} bağıntısı kullanılarak yy yerine 3π4−x\frac{3\pi}{4} - x yazılır. Ardından cot⁡y=1tan⁡(3π4−x)\cot y = \frac{1}{\tan(\frac{3\pi}{4} - x)} ilişkisinden ve tanjant fark formülünden yararlanılarak cot⁡y\cot y ifadesi tan⁡x\tan x cinsinden tan⁡x−1tan⁡x+1\frac{\tan x - 1}{\tan x + 1} olarak elde edilir. Bu ifade verilen tan⁡x−cot⁡y=52\tan x - \cot y = \frac{5}{2} denklemine yazıldığında oluşan ikinci dereceden denklem çözülerek tan⁡x\tan x değerleri (33 ve −12-\frac{1}{2}) bulunur. Her iki değer için de tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımı hesaplandığında sonuç değişmeyip 1.51.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen toplam ilişkisini kullanarak yy açısını xx cinsinden yazmak ve trigonometrik dönüşüm yapmak.
cot⁡y=cot⁡(3π4−x)=1tan⁡(3π4−x)\cot y = \cot\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right)}
yy açısını xx türünden ifade ederek denklemdeki bilinmeyen sayısını teke düşürmek.
2
Tanjant fark formülü yardımıyla tan⁡(3π4−x)\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) ifadesini açmak ve sadeleştirmek.
tan⁡(3π4−x)=tan⁡x+1tan⁡x−1  ⟹  cot⁡y=tan⁡x−1tan⁡x+1\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} \implies \cot y = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}
Tanjant fark formülünü uygulayıp tan⁡3π4=−1\tan\frac{3\pi}{4} = -1 değerini yerine yazarak cot⁡y\cot y ifadesini tan⁡x\tan x cinsinden bulmak.
3
tan⁡x=u\tan x = u değişken değiştirmesi yaparak denklemi çözmek.
2u2−5u−3=0  ⟹  u=32u^2 - 5u - 3 = 0 \implies u = 3 veya u=−12u = -\frac{1}{2}
Rasyonel denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürüp tan⁡x\tan x değerlerini bulmak.
4
Bulunan tan⁡x\tan x değerleri için cot⁡y\cot y değerlerini hesaplamak ve çarpımlarını bulmak.
tan⁡x⋅cot⁡y=1.5\tan x \cdot \cot y = 1.5
Soruda istenen tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımının sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} ve kotanjant ile tanjant arasındaki cot⁡A=1tan⁡A\cot A = \frac{1}{\tan A} ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru