Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorToplam ve Fark Formülleri

Bir ABCABC dar açılı üçgeninde tan⁡(A^)\tan(\widehat{A}), tan⁡(B^)\tan(\widehat{B}) ve tan⁡(C^)\tan(\widehat{C}) değerleri sırasıyla ardışık pozitif tam sayılardır. Buna göre, cot⁡(C^−A^)\cot(\widehat{C} - \widehat{A}) değeri kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

Ardışık pozitif tam sayı tanjant değerlerine sahip dar açılı üçgenin açıları için tan⁡A=1\tan A = 1, tan⁡B=2\tan B = 2 ve tan⁡C=3\tan C = 3 bulunur. Buradan fark formülüyle hesaplanan tan⁡(C−A)=1/2\tan(C-A) = 1/2 değerinin çarpmaya göre tersi alınarak cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2 sonucuna ulaşılır.
Üçgenin iç açılarının toplamı 180∘180^\circ olduğundan tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C bağıntısı sağlanır. Bu bağıntıyı sağlayan ardışık pozitif tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olarak belirlenir. Buradan fark formülü yardımıyla tan⁡(C−A)=1/2\tan(C-A) = 1/2 hesaplanır ve çarpmaya göre tersi alınarak cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının tanjantları arasındaki bağıntıyı kurma
tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C
A+B+C=πA+B+C = \pi olduğundan tan⁡(A+B)=−tan⁡C\tan(A+B) = -\tan C eşitliği açıldığında bu temel özdeşlik elde edilir.
2
Ardışık pozitif tam sayı kabulüyle denklem oluşturma
3(x+1)=x(x+1)(x+2)3(x+1) = x(x+1)(x+2)
tan⁡A=x\tan A = x, tan⁡B=x+1\tan B = x+1 ve tan⁡C=x+2\tan C = x+2 değerleri toplam ve çarpım bağıntısında yerine yazılır.
3
Denklemi çözerek tanjant değerlerini belirleme
tan⁡A=1\tan A = 1 ve tan⁡C=3\tan C = 3
x+1x+1 terimleri sadeleştirildiğinde x2+2x−3=0x^2+2x-3=0 elde edilir; pozitif kök x=1x=1 olup sırasıyla tanjant değerleri 1,2,31, 2, 3 bulunur.
4
Tanjant fark formülünü uygulama
tan⁡(C−A)=12\tan(C-A) = \frac{1}{2}
tan⁡(C−A)=tan⁡C−tan⁡A1+tan⁡C⋅tan⁡A=3−11+3⋅1\tan(C-A) = \frac{\tan C - \tan A}{1 + \tan C \cdot \tan A} = \frac{3-1}{1+3 \cdot 1} formülüyle fark açısının tanjantı hesaplanır.
5
Kotanjant değerine geçiş yapma
cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2
cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} ilişkisi kullanılarak tanjant değerinin çarpmaya göre tersi alınır.

Anahtar Kavram

Üçgenin iç açılarının trigonometrik oranları arasındaki ilişkiler ve toplam-fark formülleri
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru