\log_2 x - 3\log_x 2 = 2 denkleminin gerçel köklerinin çarpımı 4'tür. — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_2 x - 3\log_x 2 = 2

denkleminin gerçel köklerinin çarpımı $4$ 'tür.

Cevap: Cevap

Verilen logaritmik denklemde taban değiştirme özelliği kullanılıp ikinci dereceden denklem dönüşümü yapıldığında köklerin

x = 8

x = \frac{1}{2}

olduğu belirlenir. Bu köklerin çarpımı

4

olduğundan önerme doğrudur.

Denklemde taban değiştirme ve değişken değiştirme adımları uygulandığında köklerin

x = 8

x = \frac{1}{2}

olduğu saptanır. Bu köklerin her ikisi de logaritma tanım kümelerine uygundur ve çarpımları

4

değerini vermektedir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak denklemi aynı tabanda terimler içerecek şekilde düzenleyin.

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

eşitliği yazılır.

Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabana indirgeyerek işlem kolaylığı sağlamak için.

\log_2 x = t

dönüşümü yaparak denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna getirin ve çözün.

t - \frac{3}{t} = 2 \implies t^2 - 2t - 3 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına

(t-3)(t+1) = 0

şeklinde ayrılır ve kökler

t = 3

ile

t = -1

olarak bulunur.

Rasyonel denklemi polinom denklemine dönüştürüp köklerini bulmak için.

Bulunan

t

değerlerini kullanarak orijinal

x

değişkenini elde edin ve tanımlılık şartlarına göre kontrol edin.

\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8

\log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}

Logaritma tanım kuralları gereği taban olan

x

ifadesi

x > 0

x \neq 1

şartlarını sağlamalıdır. Bulunan

8

\frac{1}{2}

değerlerinin her ikisi de bu şartlara uyar. Köklerin çarpımı ise

8 \cdot \frac{1}{2} = 4

olarak bulunur.

Denklemin geçerli gerçel köklerini saptamak ve bunların çarpımını hesaplamak için.

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemi

Soru