a + b = \frac{\pi}{3} olmak üzere, (1 + \sqrt{3}\tan(a))(1 + \sqrt{3}\tan(b)) ifadesinin d… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

a + b = \frac{\pi}{3}

olmak üzere,

(1 + \sqrt{3}\tan(a))(1 + \sqrt{3}\tan(b))

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

İfadenin değeri 4'tür.

Verilen

a+b=\frac{\pi}{3}

toplamından elde edilen

\tan(a)+\tan(b) = \sqrt{3}(1-\tan(a)\tan(b))

ilişkisi, çarpım ifadesi açıldığında yerine yazıldığında değişken terimler sadeleşmekte ve ifadenin değeri 4 olarak bulunmaktadır.

a + b = \frac{\pi}{3}

eşitliğinin her iki tarafının tanjantı alınarak

\tan(a+b) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)

değeri bulunur.

\tan(a + b) = \sqrt{3}

Toplam formülünü uygulayabilmek için verilen açı toplamının tanjant değeri belirlenir.

Tanjant toplam formülü

\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}

eşitliğinde adım 1'de bulunan değer yerine yazılır ve içler dışlar çarpımı yapılır.

\tan(a) + \tan(b) = \sqrt{3}(1 - \tan(a)\tan(b))

İki açının tanjantları toplamı ile çarpımı arasındaki cebirsel ilişki elde edilir.

Soruda sorulan

(1 + \sqrt{3}\tan(a))(1 + \sqrt{3}\tan(b))

çarpım ifadesi dağıtılarak açılır.

1 + \sqrt{3}(\tan(a) + \tan(b)) + 3\tan(a)\tan(b)

Çarpım durumundaki ifadeyi sadeleştirebilmek için terimler tek tek çarpılır.

Adım 2'de elde edilen

\tan(a) + \tan(b) = \sqrt{3}(1 - \tan(a)\tan(b))

eşitliği, adım 3'te açılan ifadede yerine yazılır ve sadeleştirme yapılır.

1 + \sqrt{3}\left[\sqrt{3}(1 - \tan(a)\tan(b))\right] + 3\tan(a)\tan(b) = 1 + 3(1 - \tan(a)\tan(b)) + 3\tan(a)\tan(b) = 1 + 3 - 3\tan(a)\tan(b) + 3\tan(a)\tan(b) = 4

Değişken terimlerin birbirini sadeleştirmesiyle sabit sayısal sonuç elde edilir.

Toplam ve Fark Formülleri

a

b

değerleri toplamı

\frac{\pi}{3}

(

60^\circ

) olacak şekilde herhangi iki özel açı seçilerek de sonuç bulunabilir. Örneğin,

a = 30^circ

(yani

\frac{\pi}{6}

) ve

b = 30^\circ

seçilirse;

\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}

olur. Bu değerler ifadede yerine yazılırsa:

(1 + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}})(1 + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}) = (1 + 1)(1 + 1) = 4

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru