\log_2(x - 3) + \log_2(x - 1) = \log_2(x^2 - 9) - 1 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm k… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_2(x - 3) + \log_2(x - 1) = \log_2(x^2 - 9) - 1

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Sadece 5 elemanını barındıran çözüm kümesidir.

Verilen logaritmik denklemin tanım aralığı

x > 3

gerçel sayılarıdır. Logaritma özellikleri kullanılarak sadeleştirilen denklemden

x^2 - 8x + 15 = 0

elde edilir. Bu denklemin kökleri

3

5

olup, logaritmayı tanımlı kılan tek değer

5

olduğundan çözüm kümesi yalnızca bu elemandan oluşur.

Denklemin tanım kümesini belirlemek amacıyla logaritma fonksiyonlarının içindeki ifadelerin pozitif olması koşulunu yazarız.

x - 3 > 0 \implies x > 3

x - 1 > 0 \implies x > 1

x^2 - 9 > 0 \implies x > 3

veya

x < -3

bulunur. Bu koşulların kesişimi alındığında denklemin geçerli olduğu tanım kümesi

x > 3

olarak belirlenir.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.

Logaritmanın toplama ve çıkarma özelliklerini kullanarak denklemin sol ve sağ tarafını tek bir logaritma altında düzenleriz.

\log_2((x - 3)(x - 1)) = \log_2(x^2 - 9) - \log_2 2 \implies \log_2((x - 3)(x - 1)) = \log_2\left(\frac{x^2 - 9}{2}\right)

elde edilir.

Logaritma tabanları aynı olduğunda toplama işlemi argümanların çarpımına, çıkarma işlemi ise argümanların bölümüne eşittir.

Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma ifadelerini kaldırarak argümanları birbirine eşitleriz ve oluşan ikinci dereceden denklemi çözeriz.

(x - 3)(x - 1) = \frac{x^2 - 9}{2} \implies 2(x^2 - 4x + 3) = x^2 - 9 \implies 2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 9 \implies x^2 - 8x + 15 = 0

elde edilir. Bu denklem

(x - 3)(x - 5) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kök adayları

x = 3

veya

x = 5

olarak bulunur.

Logaritma fonksiyonunun bire bir olmasından dolayı, tabanları eşit olan logaritmik ifadelerin iç kısımları da birbirine eşit olmalıdır.

Bulunan aday köklerin başta elde edilen tanım kümesi (

x > 3

) koşuluna uygunluğunu denetleriz.

x = 3

değeri logaritma argümanlarını sıfır yaptığı için tanımsızlık oluşturur ve elenir.

x = 5

değeri ise

5 > 3

koşulunu sağladığı için geçerli köktür. Bu durumda denklemin çözüm kümesi

\{5\}

olur.

Bir denklemin kökünün çözüm kümesine alınabilmesi için orijinal denklemdeki tüm fonksiyonları tanımlı kılması gerekir.

Logaritmik Denklemler ve Tanım Kümesi Kontrolü

Tahmini Süre:2m 0s

Soru