Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, kolları yukarı doğru olan y=x2+ax+by = x^2 + ax + b parabolü y=2x−3y = 2x - 3 ve y=−4x−12y = -4x - 12 doğrularının her ikisine de teğettir. Bu parabolün tepe noktası TT, teğet doğrularının kesişim noktası KK olduğuna göre, TT ve KK noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. 172\frac{\sqrt{17}}{2}Cevap
  2. B
    132\frac{13}{2}
  3. C
    372\frac{\sqrt{37}}{2}
  4. D
    892\frac{\sqrt{89}}{2}
  5. E
    174\frac{17}{4}

Cevap

Tepe noktası TT ve teğet doğrularının kesişim noktası KK arasındaki uzaklık 172\frac{\sqrt{17}}{2} birimdir.
Parabolün her iki doğruya teğet olması Δ=0\Delta = 0 şartını gerektirir. Bu şartlardan elde edilen sistem çözüldüğünde parabol denklemi y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3 bulunur. Parabolün tepe noktası T(−1,−4)T(-1, -4) ve doğruların kesişim noktası K(−32,−6)K\left(-\frac{3}{2}, -6\right) olarak saptanır. İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle uzaklık 172\frac{\sqrt{17}}{2} olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün birinci doğruya teğet olma koşulunu diskriminant yardımıyla yazalım.
y=x2+ax+by = x^2 + ax + b parabolü ile y=2x−3y = 2x - 3 doğrusunun ortak çözüm denklemi x2+(a−2)x+(b+3)=0x^2 + (a-2)x + (b+3) = 0 olur. Teğetlik durumunda bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır: Δ1=(a−2)2−4(b+3)=0  ⟹  a2−4a−4b−8=0\Delta_1 = (a-2)^2 - 4(b+3) = 0 \implies a^2 - 4a - 4b - 8 = 0.
Bir doğru ve bir parabolün teğet olması, ortak çözüm denkleminin çakışık iki köke (yani diskriminantının sıfıra) sahip olmasını gerektirir.
2
Parabolün ikinci doğruya teğet olma koşulunu diskriminant yardımıyla yazalım.
y=x2+ax+by = x^2 + ax + b parabolü ile y=−4x−12y = -4x - 12 doğrusunun ortak çözüm denklemi x2+(a+4)x+(b+12)=0x^2 + (a+4)x + (b+12) = 0 olur. Teğetlik durumunda bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır: Δ2=(a+4)2−4(b+12)=0  ⟹  a2+8a−4b−32=0\Delta_2 = (a+4)^2 - 4(b+12) = 0 \implies a^2 + 8a - 4b - 32 = 0.
İkinci doğrunun da parabole teğet olması nedeniyle ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmal��dır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb parametrelerini bulalım.
İkinci denklemden birinci denklemi çıkardığımızda: (a2+8a−4b−32)−(a2−4a−4b−8)=0  ⟹  12a−24=0  ⟹  a=2(a^2 + 8a - 4b - 32) - (a^2 - 4a - 4b - 8) = 0 \implies 12a - 24 = 0 \implies a = 2 bulunur. a=2a = 2 değerini birinci denklemde yerine yazarsak: 4−8−4b−8=0  ⟹  4b=−12  ⟹  b=−34 - 8 - 4b - 8 = 0 \implies 4b = -12 \implies b = -3 elde edilir. Parabol denklemi y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3 olur.
İki denklemdeki ortak terimleri yok etmek ve parabolün katsayılarını belirlemek için denklem sistemi çözülür.
4
Bulunan parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarını hesaplayalım.
r=−22⋅1=−1r = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 ve k=f(−1)=(−1)2+2(−1)−3=−4k = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 olduğundan tepe noktası T(−1,−4)T(-1, -4) olarak bulunur.
Parabolün tepe noktasının apsis formülü r=−b2ar = -\frac{b}{2a} ve ordinatı k=f(r)k = f(r) bağıntısı ile hesaplanır.
5
Teğet doğrularının kesişim noktası olan KK noktasının koordinatlarını bulalım.
2x−3=−4x−12  ⟹  6x=−9  ⟹  x=−322x - 3 = -4x - 12 \implies 6x = -9 \implies x = -\frac{3}{2} olur. Herhangi bir doğru denkleminde yerine yazarsak y=2(−32)−3=−6y = 2\left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = -6 bulunur. Böylece kesişim noktası K(−32,−6)K\left(-\frac{3}{2}, -6\right) olur.
İki doğrunun kesişim noktası, doğruların denklemlerinin ortak çözümüyle elde edilir.
6
T(−1,−4)T(-1, -4) ve K(−32,−6)K\left(-\frac{3}{2}, -6\right) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayalım.
∣TK∣=(−1−(−32))2+(−4−(−6))2=(12)2+22=14+4=174=172|TK| = \sqrt{\left(-1 - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} birim bulunur.
Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak TT ve KK arasındaki mesafe bulunur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumlarında teğetlik şartı (ortak çözümün diskriminantının sıfıra eşit olması) ve tepe noktası ile doğruların kesişim noktasının analitik incelenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru