Examkin

Soru

Zorluk: KolayParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bir koordinat düzleminde, y=x2−x+ay = x^2 - x + a kuralıyla verilen parabol ile y=x+2y = x + 2 denklemli doğrunun yalnızca bir ortak noktası olduğu bilinmektedir. Buna göre, aa gerçek sayısı kaçtır?

  1. A
    14\frac{1}{4}
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. 3Cevap
  5. E
    -1

Cevap

Parabol ile doğrunun teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır. Buradan a=3a = 3 elde edilir.
Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması, ortak kesişim noktalarının yalnızca bir tane olması anlamına gelir. Denklemlerin ortak çözümü yapıldığında x2−2x+a−2=0x^2 - 2x + a - 2 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin tek bir gerçek kökünün (çift katlı kök) olması için diskriminant sıfır olmalıdır. Δ=(−2)2−4(a−2)=12−4a=0\Delta = (-2)^2 - 4(a-2) = 12 - 4a = 0 eşitliğinden a=3a = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2−x+a=x+2⇒x2−2x+a−2=0x^2 - x + a = x + 2 \Rightarrow x^2 - 2x + a - 2 = 0 denklemi elde edilir.
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için ortak çözüm yapılmalıdır.
2
Oluşan ikinci dereceden denklemin diskriminantını (Δ\Delta) hesaplayın.
Δ=(−2)2−4⋅1⋅(a−2)=12−4a\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) = 12 - 4a olarak bulunur.
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığı ve sayısı diskriminant ile belirlenir.
3
Doğru ile parabol birbirine teğet olduğu için diskriminantı sıfıra eşitleyin ve aa değerini bulun.
12−4a=0⇒4a=12⇒a=312 - 4a = 0 \Rightarrow 4a = 12 \Rightarrow a = 3 elde edilir.
Doğru ile parabolün birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin çakışık (çift katlı) iki kökünün olması, yani diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru