Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Soru 1Soru →

Bir $f$ fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre, bir $g$ fonksiyonunun grafiği ise ordinat eksenine ( $y$ -eksenine) göre simetriktir.

Her

x

gerçel sayısı için

(x^2 + 1) \cdot f(-x) + g(-x) = x^3 + 2x^2 + x - 3

eşitliği sağlandığına göre,

f(2) + g(2)

toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.

Verilen fonksiyonların simetri kurallarına göre f tek, g çift fonksiyondur. Denklemde sırasıyla x = 2 ve x = -2 yazılarak elde edilen -5*f(2) + g(2) = 15 ve 5*f(2) + g(2) = -5 denklemlerinin ortak çözümünden g(2) = 5 ve f(2) = -2 bulunur. Bu iki değerin toplamı 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Grafik simetrilerini kullanarak fonksiyonların tek/çift olma durumlarını belirleme

f(-x) = -f(x) ve g(-x) = g(x) eşitlikleri tanımlanır.

Orijine göre simetrik fonksiyonlar tek fonksiyon, ordinat eksenine göre simetrik fonksiyonlar ise çift fonksiyondur.

2

Cebirsel eşitlikte x = 2 yazarak ilk denklemi elde etme

-5 * f(2) + g(2) = 15 denklemi bulunur.

İstenen f(2) ve g(2) değerlerine ulaşmak için değişken yerine 2 yazılarak simetri özellikleri uygulanır.

3

Cebirsel eşitlikte x = -2 yazarak ikinci denklemi elde etme

5 * f(2) + g(2) = -5 denklemi bulunur.

İki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak amacıyla x = -2 değeri yerine koyulur.

4

Elde edilen denklem sistemini ortak çözüm yöntemiyle çözme

g(2) = 5 ve f(2) = -2 değerleri bulunur.

Taraf tarafa toplama işlemiyle bilinmeyenlerden biri yok edilerek her iki değer ayrı ayrı hesaplanır.

5

Bulunan fonksiyon değerlerinin toplamını hesaplama

f(2) + g(2) = 3 olarak hesaplanır.

Soruda istenen toplam ifadesinin sonucuna ulaşılması amaçlanmaktadır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların tanımı, grafiksel simetrileri ve cebirsel özellikleri

Soru 2Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

Her

x

gerçel sayısı için

g(x) = f(x - 2) + k

olarak tanımlanan

g

fonksiyonunun grafiği

x = a

doğrusuna göre simetriktir.

$f(-2) = 5$ ve $g(4) = 8$ olduğuna göre, $a + k$ toplamı kaçtır?

1

3

5

11

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.

Doğru cevap olan 5 değeri, f fonksiyonunun çift fonksiyon özelliğinden f(2) = f(-2) = 5 eşitliği ve g(x) = f(x-2) + k dönüşümünde simetri ekseninin x = 2 doğrusuna ötelenmesiyle (a = 2) bulunur. Buradan g(4) = f(2) + k = 5 + k = 8 eşitliğinden k = 3 elde edilir ve a + k = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

f

fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.

f

fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine (y-eksenine) göre simetrik olduğundan

f

bir çift fonksiyondur ve her

x

için

f(-x) = f(x)

eşitliği sağlanır. Buradan

f(2) = f(-2) = 5

elde edilir.

Verilen

f(-2) = 5

değerini

f(2)

değerine dönüştürmek için çift fonksiyon özelliği kullanılır.

2

g

fonksiyonunun simetri eksenini bulma.

f(x)

fonksiyonunun simetri ekseni

x = 0

doğrusudur.

g(x) = f(x-2) + k

fonksiyonu,

f

fonksiyonunun grafiğinin 2 birim sağa ve

k

birim yukarı ötelenmesiyle elde edilir. Dikey öteleme simetri eksenini etkilemezken, 2 birim sağa öteleme simetri eksenini

x = 2

doğrusuna taşır. Buradan

a = 2

bulunur.

g

fonksiyonunun simetri ekseni olan

x = a

doğrusundaki

a

değerini belirlemek için yatay öteleme kuralı uygulanır.

3

k

sabitini ve

a + k

toplamını hesaplama.

g(4) = f(4-2) + k \implies g(4) = f(2) + k

yazılır.

g(4) = 8

ve

f(2) = 5

değerleri yerine konulduğunda

8 = 5 + k \implies k = 3

bulunur. Buradan

a + k = 2 + 3 = 5

elde edilir.

g(4)

bilgisi kullanılarak

k

sabiti çözülür ve istenen toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Çift fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki davranışları.

Alternatif Yöntem

Öteleme kurallarını doğrudan grafik üzerinde canlandırarak da sonuca ulaşılabilir. y = f(x) çift fonksiyonunun grafiği y-eksenine göre simetriktir. Bu grafiğin her bir noktasını 2 birim sağa kaydırdığımızda, simetri ekseni de 2 birim sağa kayarak x = 2 doğrusu olur. Grafiği yukarı veya aşağı kaydırmak simetri ekseninin yerini değiştirmediğinden a = 2 doğrudan görülebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3Soru →

Elemanları gerçel sayılar olan en geniş tanım kümesinde $f(-x) + f(x) = 0$ eşitliğini sağlayan bir $f$ fonksiyonunun grafiği; $x$ -ekseni boyunca sağa doğru 3 birim, $y$ -ekseni boyunca yukarı doğru 5 birim ötelenerek $g$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

$g$ fonksiyonunun grafiği $(k, m)$ noktasına göre simetrik olduğuna göre, $k \cdot m$ çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

g fonksiyonunun grafiğinin simetri merkezi (3, 5) noktası olup, k ve m değerlerinin çarpımı 15'tir.

f fonksiyonunun tek fonksiyon olmasından dolayı grafiği (0, 0) noktasına göre simetriktir. Yapılan ötelemeler simetri merkezini (3, 5) noktasına taşır. Bu durumda k = 3 ve m = 5 olup çarpımları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1

f fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme

f fonksiyonunun tek fonksiyon olduğu ve simetri merkezinin (0, 0) noktası olduğu tespit edilir.

Her x için f(-x) + f(x) = 0 olması, f(-x) = -f(x) özelliğini sağlar ve tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

2

Öteleme dönüşümü altında simetri merkezinin yeni koordinatlarını bulma

g fonksiyonunun simetri merkezinin (3, 5) noktası olduğu belirlenir.

Grafiğin sağa 3 birim ve yukarı 5 birim ötelenmesi, simetri merkezinin de x bileşeninin 3, y bileşeninin 5 artmasına neden olur.

3

k * m çarpımını hesaplama

k * m = 3 * 5 = 15 olarak bulunur.

Simetri merkezinin koordinatları k = 3 ve m = 5 olarak eşleştirilir ve bu değerler çarpılır.

Anahtar Kavram

Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir ve öteleme dönüşümleri simetri merkezini aynı doğrultuda kaydırır.

Soru 4Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan bir $f$ fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,

I. $f(x - 3) + 1$ fonksiyonunun grafiği $x = 3$ doğrusuna göre simetriktir.
II. $f(x + 2) - 3$ fonksiyonunun grafiği $x = 2$ doğrusuna göre simetriktir.
III. $f(-x)$ fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüller her zaman doğrudur.

Birinci öncüldeki sağa öteleme işlemi simetri eksenini x = 3 doğrusuna taşır. Üçüncü öncülde ise y-eksenine göre simetrik bir grafiğin y-eksenine göre yansıması kendisini vereceğinden simetrisi korunur. Bu iki öncül doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Grafiğin ordinat eksenine göre simetriklik özelliğini tanımlama

Fonksiyonun simetri ekseni başlangıçta x = 0 (y-ekseni) doğrusudur.

Soruda f fonksiyonunun grafiğinin ordinat eksenine göre simetrik olduğu belirtilmiştir. Bu durum f fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu, yani her x için f(-x) = f(x) eşitliğini sağladığını gösterir.

2

Birinci öncül için dönüşümün simetri eksenine etkisini inceleme

f(x - 3) + 1 fonksiyonunun simetri ekseni x = 3 doğrusudur.

f(x - 3) dönüşümü grafiği x-ekseni boyunca 3 birim sağa öteler. Dikey öteleme (+1) simetri eksenini etkilemez. Dolayısıyla başlangıçtaki x = 0 simetri ekseni 3 birim sağa kayarak x = 3 do��rusu haline gelir. Bu nedenle birinci öncül doğrudur.

3

İkinci öncül için dönüşümün simetri eksenine etkisini inceleme

f(x + 2) - 3 fonksiyonunun simetri ekseni x = -2 doğrusudur.

f(x + 2) dönüşümü grafiği x-ekseni boyunca 2 birim sola öteler. Dolayısıyla yeni simetri ekseni x = 0 - 2 = -2 doğrusu olur. Öncülde belirtilen x = 2 doğrusu ifadesi yanlıştır.

4

Üçüncü öncül için f(-x) fonksiyonunun simetrisini inceleme

f(-x) fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

f fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan her x için f(-x) = f(x) olur. Fonksiyonun kurallarında veya grafiğinde bir değişiklik gerçekleşmediği için ordinat eksenine göre simetri durumu korunur. Bu nedenle üçüncü öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Ordinat eksenine göre simetrik (çift) fonksiyonların yatay ve dikey öteleme dönüşümleri altındaki simetri ekseni değişimleri.

Soru 5Soru →

Grafiği

y

-eksenine göre simetrik olan bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

(x^2 + 3) \cdot f(-x) = 2x^4 + 5x^2 - 3

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Aranan

f(2)

değeri 7'dir.

Grafiği

y

-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve çift fonksiyonlarda her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = f(x)

eşitliği sağlanır. Bu kural verilen denklemde yerine yazıldığında,

(x^2 + 3)f(x) = 2x^4 + 5x^2 - 3

elde edilir. Bu eşitlikte

x = 2

yazıldığında

7 \cdot f(2) = 49

denklemi kurulur ve buradan

f(2) = 7

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Grafiğin

y

-eksenine göre simetri özelliğini kullanarak

f(-x)

ifadesini

f(x)

cinsinden yazmak

f(-x) = f(x)

Bir fonksiyonun grafiğinin

y

-eksenine göre simetrik olması, o fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir ve çift fonksiyonlar tanım gereği bu eşitliği sağlar.

2

Elde edilen

f(-x) = f(x)

eşitliğini verilen denklemde yerine koyarak denklemi sadeleştirmek

(x^2 + 3) \cdot f(x) = 2x^4 + 5x^2 - 3

Denklemdeki bilinmeyen fonksiyon ifadesini tek bir biçimde temsil ederek çözüm sürecini kolaylaştırmak.

3

Denklemde

x

yerine 2 yazarak

f(2)

değerini hesaplamak

f(2) = 7

Soruda istenen

f(2)

değerine doğrudan ulaşmak için değişkenin yerine ilgili sayısal değeri yazıp gerekli aritmetik işlemleri yapmak.

Anahtar Kavram

Grafiği y-eksenine göre simetrik olan çift fonksiyonlarda f(-x) = f(x) özelliğinin kullanılması

Soru 6Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği $A(6, 8)$ noktasından geçmektedir. $g(x) = 3 \cdot f(2x)$ şeklinde tanımlanan $g$ fonksiyonunun grafiği üzerindeki noktalardan biri $(3, k)$ olduğuna göre, $k$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Yirmi dört

f(6) = 8

olduğu verilmiştir.

g(3) = 3 \cdot f(2 \cdot 3) = 3 \cdot f(6)

eşitliğinden

3 \cdot 8 = 24

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f

fonksiyonunun grafiği üzerindeki

A(6, 8)

noktasını kullanarak

f(6)

değerini belirleyin.

f(6) = 8

Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki her nokta, fonksiyonun denklemini sağlamak zorundadır.

2

g(x) = 3 \cdot f(2x)

tanımından yararlanarak

g(3)

ifadesinin değerini

f

cinsinden yazın.

g(3) = 3 \cdot f(6)

g

fonksiyonunun grafiği

(3, k)

noktasından geçtiği için

g(3) = k

eşitliği geçerlidir.

3

f(6)

değerini yerine koyarak

g(3)

değerini hesaplayın.

k = 24

g(3) = 3 \cdot f(6)

eşitliğinde

f(6) = 8

yazıldığında

g(3) = 3 \cdot 8 = 24

elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yatay sıkıştırma/esnetme dönüşümü

f(b \cdot x)

ve dikey esnetme/sıkıştırma dönüşümü

a \cdot f(x)

kurallarının birlikte uygulanması.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 7Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 2ax + a^2 + a$ parabolü ile $y = 2x - 3$ doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, bu parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

3

4

6

8

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın koordinatları toplamı 6'dır.

Parabol ve doğrunun teğetlik durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan

a = 2

bulunur.

a = 2

değeri için ortak çözüm denklemi

x^2 - 6x + 9 = 0

olup teğet noktasının apsisi

x = 3

olarak elde edilir. Apsis değeri doğru denkleminde yerine yazıldığında teğet noktasının ordinatı

y = 3

bulunur. Böylece teğet noktasının koordinatları toplamı

3 + 3 = 6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ve doğrunun denklemleri birbirine eşitlenerek kesişim noktalarını veren ortak çözüm denklemi oluşturulur.

x^2 - 2ax + a^2 + a = 2x - 3 \implies x^2 - 2(a+1)x + a^2 + a + 3 = 0

Parabol ve doğrunun birbirine göre durumlarını incelemek için ortak çözüm yapılması gerekir.

2

Doğru ile parabolün birbirine teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşitlenir (

\Delta = 0

).

\Delta = [-2(a+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + a + 3) = 0 \implies 4(a^2 + 2a + 1) - 4(a^2 + a + 3) = 0 \implies 4(a - 2) = 0 \implies a = 2

Teğetlik durumunda ortak çözüm denkleminin tek bir gerçek kökü (çift katlı kök) olmalıdır, bu da diskriminantın sıfır olmasını gerektirir.

3

a = 2

değeri ortak çözüm denkleminde yerine yazılarak teğet noktasının apsis (x) değeri bulunur.

x^2 - 2(2+1)x + 2^2 + 2 + 3 = 0 \implies x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x-3)^2 = 0 \implies x = 3

Teğet noktasının koordinatlarını hesaplamak için ortak denklemin kökü elde edilmelidir.

4

Bulunan apsis değeri doğru denkleminde yerine yazılarak ordinat (y) değeri hesaplanır ve koordinatlar toplanır.

y = 2(3) - 3 = 3

olduğundan teğet noktası

(3, 3)

'tür. Koordinatları toplamı:

3 + 3 = 6

bulunur.

Soruda teğet noktasının koordinatları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olma durumu (ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

$y = x^2 + 2x + 1$ parabolü ile $y = mx - 3$ doğrusu birbirine teğettir. $m > 0$ olduğuna göre, $m$ gerçek sayısının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması ve doğrunun eğiminin pozitif olması koşulunu sağlayan

m

değeri

6

'dır.

Ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen köklerden

m > 0

koşulunu sağlayan tek değer

6

sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.

x^2 + 2x + 1 = mx - 3 \implies x^2 + (2-m)x + 4 = 0

denklemi elde edilir.

Parabol ile doğrunun ortak noktalarını belirleyen ikinci dereceden denklemi elde etmek için iki kural birbirine eşitlenir.

2

Ortak çözüm denkleminin diskriminantını (

\Delta

) sıfıra eşitleyin.

\Delta = (2-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \implies (2-m)^2 = 16

Bir parabol ile bir doğrunun birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin tek (çakışık) kökünün olması anlamına gelir. Bu da diskriminantın sıfıra eşit olmasını gerektirir.

3

Diskriminant eşitliğinden elde edilen denklemi çözerek

m

değerlerini belirleyin ve pozitif olanını seçin.

2-m = 4 \implies m = -2

veya

2-m = -4 \implies m = 6

.

m > 0

koşulu nedeniyle

m = 6

alınır.

Karesel ifadenin çözümünden iki farklı eğim değeri elde edilir. Soru kökündeki pozitiflik sınırlandırmasına uygun olan değer nihai çözüm olarak seçilir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları incelenirken ortak çözüm denkleminin diskriminantı (

\Delta

) kullanılır. Doğru parabole teğet ise

\Delta = 0

olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Analitik düzlemde, $f(x) = x^2 - (m+2)x + 2m$ fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar $A$ , $B$ ve $C$ 'dir. Köşeleri bu noktalar olan $ABC$ üçgeninin alanı $24$ birimkare olduğuna göre, $m$ parametresinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

m parametresinin alabileceği pozitif değer 6'dır.

Parabolün eksenleri kestiği noktalar

A(2, 0)

,

B(m, 0)

ve

C(0, 2m)

olarak elde edilir. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanı

\frac{1}{2} \cdot |m-2| \cdot |2m| = |m(m-2)|

formülüyle hesaplanır. Alanın 24 birimkareye eşitlenmesiyle elde edilen

|m^2 - 2m| = 24

denkleminden pozitif gerçel sayı çözümü

6

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.

x

-eksenini kestiği noktalar

A(2, 0)

ve

B(m, 0)

,

y

-eksenini kestiği nokta ise

C(0, 2m)

olarak bulunur.

Eksenleri kestiği noktaları bulmak için denklemde

y=0

ve

x=0

yazılır.

x^2 - (m+2)x + 2m = 0 \implies (x-2)(x-m) = 0

olduğundan kökler

2

ve

m

'dir.

2

Eksenleri kestiği noktalarla oluşan üçgenin alanını

m

cinsinden ifade etmek.

\text{Alan}(ABC) = |m^2 - 2m| = 24

denklemi elde edilir.

A(2, 0)

ve

B(m, 0)

noktaları arasındaki uzaklık taban (

|m-2|

),

C(0, 2m)

noktasının

x

-eksenine uzaklığı ise yükseklik (

|2m|

) kabul edilirse;

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |m-2| \cdot |2m| = |m(m-2)|

olur.

3

m

değerini bulmak için mutlak değerli denklemi çözmek.

Pozitif

m

değeri

6

olarak bulunur.

|m^2 - 2m| = 24

eşitliğinden

m^2 - 2m = 24 \implies m^2 - 2m - 24 = 0 \implies (m-6)(m+4) = 0

olur. Buradan

m=6

veya

m=-4

bulunur. Diğer durum olan

m^2 - 2m = -24

denkleminin gerçel kökü yoktur. Soruda pozitif değer istendiği için

m=6

seçilir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktalar yardımıyla geometrik alan hesabı yapılması.

Soru 10Soru →

a

ve

b

birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, dik koordinat düzleminde

f(x) = x^2 - 2ax + b

g(x) = x^2 - 2bx + a

parabolleri veriliyor.

$f(x)$ parabolünün tepe noktası $T_1$ , $g(x)$ parabolünün tepe noktası ise $T_2$ dir.
$T_1$ ve $T_2$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $-5$ ve bu tepe noktalarının ordinatları toplamı $-10$ dur.

Buna göre, bu iki parabolün simetri eksenleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

2\sqrt{3}

2

4

\sqrt{5}

2\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2\sqrt{3}$

Cevap

Parabollerin simetri eksenleri arasındaki uzaklık

2\sqrt{3}

birimdir.

Parabollerin tepe noktaları doğru belirlendikten sonra, eğim ve ordinat ilişkileri kullanılarak

a+b = 4

ve

a^2+b^2 = 14

denklemleri elde edilir. Simetri eksenleri arasındaki uzaklık

|a-b|

olup, özdeşlik yardımıyla bu değer

2\sqrt{3}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabollerin tepe noktalarının koordinatlarını parametreler cinsinden yazalım.

f(x)

parabolünün tepe noktası

T_1(a, b-a^2)

ve

g(x)

parabolünün tepe noktası

T_2(b, a-b^2)

olarak bulunur.

Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a}

formülüyle, ordinatı ise fonksiyon değeriyle belirlenir.

2

T_1

ve

T_2

noktalarından geçen doğrunun eğimini bulup verilen eğim değerine eşitleyelim.

Eğim

m = \frac{(a-b^2) - (b-a^2)}{b-a} = -(1+a+b)

olarak sadeleşir.

-5 = -(1+a+b) \implies a+b = 4

elde edilir.

İki noktası bilinen doğrunun eğimi ordinatlar farkının apsisler farkına oranıdır.

3

Tepe noktalarının ordinatları toplamı ilişkisini kullanalım.

k_1 + k_2 = (b-a^2) + (a-b^2) = (a+b) - (a^2+b^2) = -10

denkleminde

a+b = 4

yazılırsa

a^2+b^2 = 14

bulunur.

Tepe noktalarının ordinatları toplamının

-10

olduğu verilmiştir.

4

Simetri eksenleri arasındaki uzaklık olan

|a-b|

değerini hesaplayalım.

(a-b)^2 = 2(a^2+b^2) - (a+b)^2 = 2(14) - 4^2 = 12

elde edilir. Buradan

|a-b| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

bulunur.

Sırasıyla

x=a

ve

x=b

simetri eksenleri arasındaki uzaklık

|a-b|

ifadesidir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası ve simetri ekseninin geometrik ve cebirsel özellikleri

Soru 11Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu

f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

kuralı ile veriliyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

[3, \infty)

[0, 3]

(-\infty, 3]

(-\infty, 5]

(-\infty, 0]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-\infty, 3]$

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık

(-\infty, 3]

aral��ğıdır.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = x^2(x-3)

şeklindedir. Türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıkta fonksiyon azalandır. Her gerçek

x

için

x^2 \geq 0

olduğundan,

x^2(x-3) \leq 0

eşitsizliğinin sağlanması için

x-3 \leq 0

olmalıdır. Buradan

x \leq 3

elde edilir. Bu durum bizi

(-\infty, 3]

aralığına ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

fonksiyonunun türevi alınır.

f'(x) = x^3 - 3x^2

elde edilir.

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevinin işareti incelenmelidir.

2

Türev fonksiyonunun kökleri bulunur.

f'(x) = x^2(x - 3) = 0

denkleminden

x = 0

(çift katlı kök) ve

x = 3

(tek katlı kök) elde edilir.

İşaret tablosu oluşturmak için türevin sıfır olduğu noktalar (kritik noktalar) belirlenmelidir.

3

Türev fonksiyonu için işaret tablosu oluşturulur.

x > 3

için

f'(x) > 0

(+),

0 < x < 3

için

f'(x) < 0

(-) ve

x < 0

için

f'(x) < 0

(-) olur.

x = 0

noktası çift katlı kök olduğundan bu noktadan geçerken türevin işareti değişmez.

4

Türevin negatif veya sıfır olduğu (

f'(x) \leq 0

) aralık belirlenir.

x \in (-\infty, 3]

aralığında

f'(x) \leq 0

olur.

Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve çift katlı köklerde işaret incelemesi.

Soru 12Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan $f(x) = |x - 3| - |x + 5|$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı -9'dur.

Fonksiyonun kuralları parçalı olarak incelendiğinde, yalnızca

[-5, 3]

aralığında negatif eğimli doğrusal bir fonksiyon (

f(x) = -2x - 2

) elde edilir. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş aralık

[-5, 3]

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı

-9

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kritik noktaları belirleme

x = -5

ve

x = 3

kritik noktalardır.

Mutlak değerlerin içerisini sıfır yapan noktalar fonksiyonun davranışının değiştiği sınırları belirler.

2

Aralıklara göre fonksiyon kurallarını bulma

x < -5

için

f(x) = 8

,

-5 \le x \le 3

için

f(x) = -2x - 2

ve

x > 3

için

f(x) = -8

olur.

Fonksiyonun artan veya azalan olduğu bölgeleri belirlemek için her alt aralıktaki cebirsel ifadesi elde edilmelidir.

3

Artan/azalanlık incelemesi yapma

Fonksiyon yalnızca

[-5, 3]

aralığında azalandır.

-5 \le x \le 3

aralığında fonksiyonun kuralı

f(x) = -2x - 2

olan negatif eğimli bir doğrudur ve bu aralıkta azalan davranışı gösterir. Diğer aralıklarda fonksiyon sabit olduğundan artan veya azalan değildir.

4

Tam sayıların toplamını hesaplama

-5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -9

Azalan olunan

[-5, 3]

kapalı aralığındaki tüm tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir aralıkta

x_1 < x_2

iken

f(x_1) > f(x_2)

oluyorsa fonksiyon o aralıkta azalandır. Doğrusal fonksiyonlarda eğim negatif ise fonksiyon azalandır.

Soru 13Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = (3 - m)x + 5

fonksiyonu azalan bir fonksiyondur.

Buna göre, $m$ parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, 3)

[3, \infty)

(3, \infty)

(-\infty, -3)

(-3, \infty)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(3, \infty)$

Cevap

m parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı

(3, \infty)

açık aralığıdır.

Birinci dereceden

f(x) = ax + b

biçimindeki bir fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde azalan olması için eğiminin negatif, yani

a < 0

olması gerekir. Verilen

f(x) = (3 - m)x + 5

fonksiyonunda

x

'in katsayısı

3 - m

olduğuna göre

3 - m < 0

eşitsizliği sağlanmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde

m > 3

bulunur. Bu durum,

m

parametresinin

(3, \infty)

açık aralığında değerler alması gerektiğini gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun azalanlık şartını belirlemek.

Birinci dereceden

f(x) = ax + b

fonksiyonunun azalan olması için eğiminin negatif (

a < 0

) olması gerekir.

Doğrusal fonksiyonlarda fonksiyon değerlerinin sürekli azalması için eğimin negatif olması zorunludur.

2

x

'in katsayısı olan

3 - m

ifadesini sıfırdan küçük yapan eşitsizliği kurmak.

3 - m < 0

eşitsizliği elde edilir.

f(x) = (3 - m)x + 5

fonksiyonunda eğim

3 - m

değeridir.

3

Eşitsizliği çözerek

m

parametresinin aralığını bulmak.

m > 3

bulunur. Bu aralık

(3, \infty)

şeklinde gösterilir.

Eşitsizliğin her iki tarafına

m

eklenerek

3 < m

elde edilir, bu da

m > 3

demektir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden fonksiyonların eğimlerine göre artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 14Soru →

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ve $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonları her $x$ gerçel sayısı için sırasıyla $f(x) > 0$ ve $g(x) < 0$ eşitsizliklerini sağlamaktadır.

$f$ fonksiyonu daima artan ve $g$ fonksiyonu daima azalan olduğuna göre,

I. $u(x) = f(x) \cdot g(x)$
II. $v(x) = \frac{1}{g(x) - f(x)}$
III. $w(x) = (g \circ f)(x) + g(x)$

fonksiyonlarından hangileri $\mathbb{R}$ üzerinde daima azalan bir fonksiyondur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadelerinde verilen fonksiyonlar daima azalandır.

I ve III ifadelerinde verilen fonksiyonlar daima azalandır. Çarpım fonksiyonunda çarpanların işaretleri ve monotonluk yönleri çarpımın azalan olmasını sağlarken, bileşke ve toplam fonksiyonunda iki azalan fonksiyonun toplamı her zaman azalanlık özelliğini korur.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncüldeki

u(x) = f(x) \cdot g(x)

fonksiyonunun monotonluğunu incelemek için tanım kümesinden

x_1 < x_2

elemanlarını seçelim.

f

fonksiyonu pozitif değerli ve daima artan olduğundan

0 < f(x_1) < f(x_2)

olur.

g

fonksiyonu negatif değerli ve daima azalan olduğundan

g(x_1) > g(x_2)

yani

-g(x_2) > -g(x_1) > 0

olur. Pozitif terimli eşitsizliklerin taraf tarafa çarpımından

f(x_1) \cdot [-g(x_1)] < f(x_2) \cdot [-g(x_2)] \Rightarrow f(x_1)g(x_1) > f(x_2)g(x_2)

elde edilir.

Eşitsizlik

u(x_1) > u(x_2)

haline geldiği için

u

fonksiyonu daima azalandır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

2

II. öncüldeki

v(x) = \frac{1}{g(x) - f(x)}

fonksiyonunun paydasındaki ifadenin ve tüm ifadenin monotonluğunu inceleyelim.

g(x)

daima azalan ve

-f(x)

daima azalan olduğundan, bunların toplamı olan

y(x) = g(x) - f(x)

daima azalandır. Ayrıca

g(x) < 0

ve

f(x) > 0

olduğundan

y(x) < 0

(negatif değerli) olur. Negatif değerli ve azalan bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi olan

v(x) = \frac{1}{y(x)}

fonksiyonu için

x_1 < x_2

alındığında

0 > y(x_1) > y(x_2) \Rightarrow \frac{1}{y(x_1)} < \frac{1}{y(x_2)}

elde edilir.

v(x_1) < v(x_2)

olduğundan

v

fonksiyonu daima artandır, azalan değildir. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.

3

III. öncüldeki

w(x) = (g \circ f)(x) + g(x)

fonksiyonunu oluşturan bileşenlerin monotonluğunu inceleyelim.

f

artan ve

g

azalan olduğundan, bileşke fonksiyon

(g \circ f)(x)

daima azalandır.

g(x)

fonksiyonu da daima azalan olarak verilmiştir. İki azalan fonksiyonun toplamı olan

w(x) = (g \circ f)(x) + g(x)

da daima azalan bir fonksiyon olur.

İki azalan fonksiyonun toplamı her zaman azalan olduğundan

w

fonksiyonu daima azalandır. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların tanımı, fonksiyon bileşkesinin monotonluğu ve işaret durumlarına göre fonksiyon işlemlerinin monotonluk üzerindeki etkileri.

Soru 15Soru →

f: [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x) = x^2 - 10x + 24

fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta artandır.
Buna göre,

a

gerçek sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a gerçek sayısının alabileceği en küçük değer 5'tir.

Fonksiyonun tepe noktasının apsisi 5'tir ve kolları yukarı doğru olan bu parabol 5'ten büyük veya eşit

x

değerleri için artandır. Tanımlanan

[a, \infty)

aralığında fonksiyonun artan kalması için

a

değeri 5'ten küçük olamaz, bu nedenle en küçük değeri 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplama

r = 5

İkinci dereceden bir fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanl��ktan artanlığa geçtiği sınır noktası tepe noktasıdır.

2

Artan olduğu en geniş aralığı belirleme

[5, \infty)

aralığı

x^2

teriminin katsayısı pozitif olduğundan parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktasından itibaren artan olur.

3

Verilen tanım kümesi ile artanlık aralığını karşılaştırma

a \ge 5

ve en küçük

a = 5

[a, \infty)

kümesinin tamamen artanlık aralığı olan

[5, \infty)

içinde kalması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) artan olduğu en geniş aralık, başkatsayısı pozitif ise

[r, \infty)

aralığıdır.

Soru 16Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her $x \in \mathbb{R}$ için pozitif değerli olan $f$ fonksiyonu azalandır.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her $x \in \mathbb{R}$ için negatif değerli olan $g$ fonksiyonu artandır.

Buna göre,

I. $(f \cdot g)(x)$
II. $(f \circ g)(x)$
III. $(g - f)(x)$

ifadelerinden hangileri gerçel sayılar kümesi üzerinde her zaman artandır?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III

Verilen koşullarda,

x_1 < x_2

iken

f(x_1) > f(x_2) > 0

ve

g(x_1) < g(x_2) < 0

olur. Çarpım fonksiyonunun farkı

(f \cdot g)(x_2) - (f \cdot g)(x_1) = f(x_2)[g(x_2) - g(x_1)] + g(x_1)[f(x_2) - f(x_1)]

şeklinde yazıldığında her iki terim de pozitif olacağından sonuç pozitif çıkar ve fonksiyon artandır. Benzer şekilde,

g

fonksiyonu artan,

-f

fonksiyonu da artan olduğundan toplamları olan

g - f

fonksiyonu da her zaman artandır. Dolayısıyla I ve III ifadeleri her zaman artandır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen fonksiyon özelliklerini matematiksel eşitsizliklerle tanımlamak.

x_1 < x_2

için

f(x_1) > f(x_2) > 0

(çünkü

f

pozitif değerli ve azalan) ve

g(x_1) < g(x_2) < 0

(çünkü

g

negatif değerli ve artan) eşitsizlikleri elde edilir.

Fonksiyonların artanlık, azalanlık ve işaret özelliklerini analiz edebilmek için temel tanımları kurmak gerekir.

2

Birinci öncüldeki

(f \cdot g)(x)

ifadesinin artanlığını incelemek.

(f \cdot g)(x_2) - (f \cdot g)(x_1) = f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_1)

farkın��

f(x_2)[g(x_2) - g(x_1)] + g(x_1)[f(x_2) - f(x_1)]

şeklinde yazalım. Burada

f(x_2) > 0

ve

g(x_2) - g(x_1) > 0

olduğundan birinci terim pozitiftir.

g(x_1) < 0

ve

f(x_2) - f(x_1) < 0

olduğundan ikinci terim de iki negatif sayının çarpımı olarak pozitiftir. İki pozitif ifadenin toplamı pozitif olacağından

(f \cdot g)(x_2) > (f \cdot g)(x_1)

elde edilir. Dolayısıyla ��arpım fonksiyonu her zaman artandır.

Çarpım fonksiyonunun artan olup olmadığını artanlık tanımını kullanarak cebirsel olarak kanıtlamak amacıyla bu adım uygulanır.

3

İkinci öncüldeki bileşke fonksiyon

(f \circ g)(x)

ifadesinin artanlığını incelemek.

x_1 < x_2

iken

g

artan olduğu için

g(x_1) < g(x_2)

olur.

f

fonksiyonu azalan olduğundan, bu eşitsizliğin her iki tarafına

f

uygulandığında eşitsizlik yön de��iştirir:

f(g(x_1)) > f(g(x_2))

. Bu durum, bileşke fonksiyonun azalan olduğunu gösterir. Dolayısıyla bu öncül her zaman artan değildir.

Bileşke fonksiyonların artanlık/azalanlık özelliklerini belirlerken içteki ve dıştaki fonksiyonların yön değiştirme durumlarını incelemek gerekir.

4

Üçüncü öncüldeki

(g - f)(x)

fark fonksiyonunun artanlığını incelemek.

x_1 < x_2

için

g(x_1) < g(x_2)

dir. Ayrıca

f(x_1) > f(x_2)

olduğundan, her iki tarafı

-1

ile çarpt��ğımızda

-f(x_1) < -f(x_2)

elde edilir. Bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak

g(x_1) - f(x_1) < g(x_2) - f(x_2)

elde edilir. Bu da

(g - f)(x)

fonksiyonunun her zaman artan olduğunu gösterir.

İki fonksiyonun farkının büyüme eğilimini belirlemek için her birinin değişim yönünü toplanabilir eşitsizlikler haline getirmek gerekir.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların cebirsel özellikleri, bileşke ve aritmetik işlemler altındaki davranışları.

Soru 17Soru →

$f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere,

f(x) = x^2 - 2x + 5

fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

1

4

5

8

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dört

Fonksiyonun alabileceği en küçük değer, tanım kümesi içerisindeki tepe noktasının ordinatıdır.

f(x) = x^2 - 2x + 5

fonksiyonunun tepe noktası apsisi

r = 1

olup bu değer

[-1, 4]

aralığındadır. Bu noktadaki fonksiyon değeri

f(1) = 4

olduğundan en küçük değer dörttür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

f(x) = x^2 - 2x + 5

parabolünün tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplayalım.

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1

bulunur.

Bir parabolün en büyük veya en küçük değeri, eğer tanım kümesi içinde yer alıyorsa, tepe noktasında oluşur.

2

Bulunan tepe noktası apsisi olan

r = 1

değerinin tanım kümesi olan

[-1, 4]

aralığında olup olmadığını kontrol edelim.

1 \in [-1, 4]

olduğu için fonksiyon bu noktada en küçük değerini alabilir.

Tepe noktası tanım aralığının dışındaysa, en küçük değer aralığın uç noktalarında aranmalıdır.

3

Tepe noktasının ordinatını (

k = f(r)

) ve aralığın uç noktalarındaki değerleri (

f(-1)

ve

f(4)

) hesaplayıp karşılaştıralım.

f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 4

,

f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 5 = 8

,

f(4) = 4^2 - 2(4) + 5 = 13

bulunur.

Bu değerler arasından en küçük olanı fonksiyonun alabileceği en küçük değerdir. Dolayısıyla en küçük değer

4

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktası ve aralığın uç noktaları kontrol edilir.

Soru 18Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}

fonksiyonu

f(x) = x^2 - 4x + 7

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

f

fonksiyonunun bu aralıkta alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı 10'dur.

Fonksiyonun bu aralıktaki en küçük değeri tepe noktasında 3, en büyük değeri ise uç noktalarda 7'dir. Toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını bulalım.

r = 2

ve

k = f(2) = 3

bulunur.

Parabolün en küçük/en büyük değer adaylarından biri tepe noktasıdır.

2

Tepe noktasının apsisinin tanımlı aralıkta olup olmadığını inceleyelim.

2 \in [0, 4]

olduğundan fonksiyonun en küçük değeri

f(2) = 3

olur.

Tepe noktası

[0, 4]

aralığının içinde yer alır.

3

Aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım.

f(0) = 7

ve

f(4) = 7

bulunur. Bu değerler fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeridir.

Sınırlı aralıktaki sürekli fonksiyonların maksimum/minimum değerleri uç noktalarda veya tepe noktasında bulunabilir.

4

En büyük ve en küçük değerleri toplayalım.

7 + 3 = 10

bulunur.

Soru kökünde bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktası ve aralık uç noktaları incelenir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 19Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu artan, $g$ fonksiyonu ise azalan bir fonksiyondur.

Her

x

gerçel sayısı için

f(x^2 - 3x - 10) < f(2x + 4)

ve

g(x^2 - a) < g(12)

eşitsizlikleri veriliyor.

Bu iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan $x$ gerçel sayılarının en geniş kümesi $(3, 7)$ açık aralığı olduğuna göre, $a$ gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Aranan gerçel sayı değeri -3 olarak bulunur.

Artan fonksiyonlarda eşitsizlik yön korurken, azalan fonksiyonlarda eşitsizlik yön değiştirir. Elde edilen iki eşitsizlik sisteminin en geniş ortak çözüm aralığı incelendiğinde, sol taraftaki negatif aralığın boş küme kalması için sınır şartı sağlanmalı, sağ taraftaki pozitif aralığın alt sınırı ise 3 olmalıdır. Bu analizler sonucunda

a + 12 = 9

denklemi kurularak

a = -3

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Artan fonksiyon tanımını kullanarak birinci eşitsizliği sadeleştirmek

x^2 - 3x - 10 < 2x + 4 \implies x^2 - 5x - 14 < 0 \implies x \in (-2, 7)

Artan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirmez.

2

Azalan fonksiyon tanımını kullanarak ikinci eşitsizliği sadeleştirmek

x^2 - a > 12 \implies x^2 > a + 12

.

C = a + 12 > 0

için çözüm kümesi

I_2 = (-\infty, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, \infty)

Azalan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirir.

3

İki çözüm kümesinin kesişimini analiz etmek

Kesişim kümesi:

((-2, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, 7))

En geniş ortak çözüm kümesinin

(3, 7)

aralığına eşit olması şartını incelemek için kesişim alt aralıkları belirlenir.

4

Kesişim kümesini

(3, 7)

aralığına eşitleyerek sınır değerlerini bulmak

C = 9

değeri

C \ge 4

şartını sağlar.

Sol taraftaki aralığın boş küme olması için

-\sqrt{C} \le -2 \implies C \ge 4

olmalı, sağ taraftaki aralığın başlangıç sınırının 3 olması için ise

\sqrt{C} = 3 \implies C = 9

olmalıdır.

5

Bilinmeyen

a

parametresini hesaplamak

a + 12 = 9 \implies a = -3

Tanımladığımız

C

değişkeninin değerini yerine yazarak

a

parametresine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Artan ve Azalan Fonksiyonların Tanımı ve Eşitsizlik Çözümleriyle İlişkisi

Soru 20Soru →

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x) = x^2 - 2(k - 2)x + 5

fonksiyonu

[3, \infty)

aralığında artandır.

g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

g(x) = (k - 7)x^2 + 4x - 3

fonksiyonu

(-\infty, 1]

aralığında artandır.

Buna göre, $k$ gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

k gerçek sayısı 5'tir.

Verilen

f(x)

ve

g(x)

fonksiyonlarının sırasıyla

[3, \infty)

ve

(-\infty, 1]

aralıklarında artan olabilmesi için parabollerin tepe noktaları ve yönleri analiz edilmelidir.

f(x)

'in baş katsayısı pozitif olduğundan tepe noktasının sağında artandır; bu durum

k-2 \le 3 \implies k \le 5

olmasını gerektirir.

g(x)

'in sol yarıda artan olabilmesi için kollarının aşağı doğru olması gerekir, bu da

k < 7

demektir. Bu durumda

g(x)

tepe noktasının solunda artan olup,

r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1 \implies k \ge 5

elde edilir. Her iki koşulu da sağlayan yegane değer

k = 5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunun artanlık aralığından

k

için bir sınır bulunması.

k \le 5

f(x) = x^2 - 2(k-2)x + 5

parabolünün baş katsayısı pozitif olduğundan kolları yukarı doğrudur. Parabolün tepe noktası

r_f = k-2

olup,

[r_f, \infty)

aralığında artandır.

[3, \infty)

aralığında artan olması için

[3, \infty) \subseteq [k-2, \infty)

olmalıdır, bu da

k-2 \le 3 \implies k \le 5

koşulunu getirir.

2

g(x)

fonksiyonunun yönünün (kollarının yönünün) belirlenmesi.

k < 7

g(x)

parabolünün

(-\infty, 1]

aralığında artan olması istenmektedir. Eğer parabolün kolları yukarı doğru olsaydı (

k > 7

), artan olduğu aralık

[r_g, \infty)

şeklinde sağdan sınırsız olurdu ve

(-\infty, 1]

aralığında artan olamazdı. Bu yüzden kollar aşağı doğru olmalıdır, yani

k - 7 < 0 \implies k < 7

olmalıdır.

3

g(x)

fonksiyonunun tepe noktasından

k

için alt sınır bulunması.

k \ge 5

Kolları aşağı doğru olan

g(x) = (k-7)x^2 + 4x - 3

parabolü tepe noktası

r_g = -\frac{4}{2(k-7)} = \frac{2}{7-k}

olmak üzere

(-\infty, r_g]

aralığında artandır.

(-\infty, 1]

aralığında artan olması için

(-\infty, 1] \subseteq (-\infty, r_g]

olmalıdır, bu da

r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1

eşitsizliğini verir.

k < 7

olduğundan

7-k > 0

olup, eşitsizliği

2 \ge 7-k \implies k \ge 5

olarak çözebiliriz.

4

Elde edilen eşitsizliklerin kesiştirilmesi.

k = 5

f(x)

'in artanlık koşulundan

k \le 5

,

g(x)

'in artanlık koşulundan ise

5 \le k < 7

elde edilmiştir. Bu iki koşulu aynı anda sağlayan tek gerçek sayı değeri

k = 5

'tir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) artan ve azalan oldukları aralıklar, tepe noktasının apsisi (

r = -b/2a

) ve baş katsayının işareti kullanılarak belirlenir.

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm