\frac{\sqrt{3} \cdot \cos 50^\circ + \sin 50^\circ}{\cos 20^\circ} ifadesinin değeri kaçtı… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{\sqrt{3} \cdot \cos 50^\circ + \sin 50^\circ}{\cos 20^\circ}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 2

Verilen trigonometrik ifadenin değeri 2'dir.

Verilen ifadede

\sqrt{3}

katsayısı yerine

\tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}

yazılarak payda eşitlendiğinde pay kısmı sinüsün toplam formülü olan

\sin(60^\circ + 50^\circ) = \sin 110^\circ

ifadesine dönüşür. Payda kısmındaki

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

değeri yukarı çarpım olarak geçer ve pay

2 \sin 110^\circ

olur. İkinci bölgede açılar dönüştürüldüğünde

\sin 110^\circ = \cos 20^\circ

olduğundan payda yer alan

\cos 20^\circ

ile sadeleşir ve sonuç 2 bulunur.

\sqrt{3}

katsayısını tanjant cinsinden ifade etme

\sqrt{3} = \tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}

Toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için katsayıyı trigonometrik orana çeviririz.

Pay kısmında payda eşitleme yapma

\frac{\sin 60^\circ \cdot \cos 50^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 50^\circ}{\cos 60^\circ}

Toplama işlemini ortak paydada birleştirerek pay kısmında sinüs toplam formülünün yapısını oluştururuz.

Sinüs toplam formülünü uygulama ve

\cos 60^\circ

değerini yerine yazma

Pay

\sin 110^\circ

, paydadaki

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

yukarı çarpım olarak geçtiğinde pay ifadesi

2 \sin 110^\circ

olur.

\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

özdeşliğini kullanırız.

Açı indirgemesi yapma ve sonucu bulma

\sin 110^\circ = \cos 20^\circ

olduğundan ifade

\frac{2 \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2

olur.

Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirmek için açıyı birbirini

90^\circ

ye tamamlayacak şekilde dar açıya dönüştürürüz.

Sinüs toplam formülü ve

\sqrt{3} = \tan 60^\circ

dönüşümü yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Soru