Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYarım Açı Formülleri
A=cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘A = \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ olduğuna göre, 64⋅A64 \cdot A ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen sonuç 4'tür.
Verilen ifade sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpılıp bölündüğünde ve cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ dönüşümü yapıldığında, sinüsün yarım açı formülü ardışık olarak uygulanarak pay kısmında 116sin⁡24∘\frac{1}{16}\sin 24^\circ elde edilir. Paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleşen ifade A=116A = \frac{1}{16} değerini verir. Buradan 64⋅A=464 \cdot A = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpıp bölerek yarım açı formülü uygulanabilir hale getirmek.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ}{\sin 24^\circ}
Zincirleme yarım açı formülü uygulaması için ilk terimi oluşturmak.
2
cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ özdeşliğini kullanarak açı dizilimini iki katı olacak şekilde tamamlamak.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡192∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 192^\circ}{\sin 24^\circ}
cos⁡192∘\cos 192^\circ ve cos⁡168∘\cos 168^\circ değerlerinin her ikisi de −cos⁡12∘-\cos 12^\circ değerine eşit olduğundan zinciri bozmadan iki katı kuralını sürdürmek.
3
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x yarım açı formülünü pay kısmına sırayla uygulamak.
sin⁡24∘cos⁡24∘=12sin⁡48∘\sin 24^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{2}\sin 48^\circ
12sin⁡48∘cos⁡48∘=14sin⁡96∘\frac{1}{2}\sin 48^\circ \cos 48^\circ = \frac{1}{4}\sin 96^\circ
14sin⁡96∘cos⁡96∘=18sin⁡192∘\frac{1}{4}\sin 96^\circ \cos 96^\circ = \frac{1}{8}\sin 192^\circ
18sin⁡192∘cos⁡192∘=116sin⁡384∘\frac{1}{8}\sin 192^\circ \cos 192^\circ = \frac{1}{16}\sin 384^\circ
Pay kısmındaki kosinüs çarpımlarını tek bir sinüs terimine indirgemek.
4
sin⁡384∘\sin 384^\circ açısının esas ölçüsünü bularak paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleştirmek.
sin⁡384∘=sin⁡(360∘+24∘)=sin⁡24∘\sin 384^\circ = \sin(360^\circ + 24^\circ) = \sin 24^\circ
A=116sin⁡24∘sin⁡24∘=116A = \frac{\frac{1}{16}\sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} = \frac{1}{16}
AA değerini rasyonel bir sayıya dönüştürmek.
5
64⋅A64 \cdot A ifadesini hesaplamak.
64⋅A=64⋅116=464 \cdot A = 64 \cdot \frac{1}{16} = 4
Soruda istenen nihai çarpım değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs yarım açı formülünün (sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x) ardışık kosinüs çarpımlarında zincirleme kullanımı ve indirgeme formülleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru