Examkin

Soru

Zorluk: OrtaToplam ve Fark Formülleri
α\alpha ve β\beta birer dar açı olmak üzere,
tan⁡α=12\tan \alpha = \frac{1}{2}
cot⁡β=3\cot \beta = 3
olduğuna göre, cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. 22\frac{\sqrt{2}}{2}Cevap
  2. B
    −22-\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. C
    7210\frac{7\sqrt{2}}{10}
  4. D
    210\frac{\sqrt{2}}{10}
  5. E
    −210-\frac{\sqrt{2}}{10}

Cevap

Kosinüs toplam formülü kullanılarak elde edilen değer kök iki bölü ikidir.
Verilen dar açılar için sinüs ve kosinüs değerleri hesaplandıktan sonra, kosinüs toplam formülü olan cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta uygulanarak doğru değer kök iki bölü iki olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik oranlardan yararlanarak α\alpha ve β\beta açılarının diğer trigonometrik değerlerini bulmak için dik üçgenler çizilir.
α\alpha açısı için karşı kenar 11, komşu kenar 22 birim olduğundan hipotenüs 12+22=5\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} birimdir. Buradan sin⁡α=15\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} ve cos⁡α=25\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} elde edilir. β\beta açısı için cot⁡β=3\cot \beta = 3 olduğundan komşu kenar 33, karşı kenar 11 birimdir. Hipotenüs 32+12=10\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} birimdir. Buradan sin⁡β=110\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}} ve cos⁡β=310\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{10}} elde edilir.
Kosinüs toplam formülünde ihtiyaç duyulan sinüs ve kosinüs değerlerini elde etmek.
2
Kosinüs toplam formülü olan cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ifadesi yazılır.
Formül: cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
İki açının toplamının kosinüsünü açarak hesaplamak.
3
Bulunan değerler formülde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılır.
cos⁡(α+β)=(25)⋅(310)−(15)⋅(110)\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)
cos⁡(α+β)=650−150=550=552=12=22\cos(\alpha + \beta) = \frac{6}{\sqrt{50}} - \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Rasyonel ifadeleri sadeleştirerek sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının kosinüs değerini bulmak için kosinüs toplam formülü kullanılır.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru