Examkin

Soru

Zorluk: OrtaToplam ve Fark Formülleri
Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,
sin⁡(x−y)⋅cos⁡y+cos⁡(x−y)⋅sin⁡ycos⁡(x+y)⋅cos⁡y+sin⁡(x+y)⋅sin⁡y\frac{\sin(x - y) \cdot \cos y + \cos(x - y) \cdot \sin y}{\cos(x + y) \cdot \cos y + \sin(x + y) \cdot \sin y}
ifadesinin en sade şekli nedir?

Cevap: tan(x) / tan x / \tan(x) / \tan x

Cevap

tan⁡x\tan x
Verilen rasyonel ifadenin payı sinüs toplam formülüyle sin⁡(x−y+y)=sin⁡x\sin(x-y+y) = \sin x olarak, paydası ise kosinüs fark formülüyle cos⁡(x+y−y)=cos⁡x\cos(x+y-y) = \cos x olarak sadeleşir. Bu iki değerin birbirine oranı olan sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} ifadesi tan⁡x\tan x değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi sinüs toplam formülü kullanarak sadeleştirmek.
sin⁡(x−y+y)=sin⁡x\sin(x - y + y) = \sin x
sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B toplam formülünde A=x−yA = x - y ve B=yB = y alındığında paydaki ifade elde edilir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi kosinüs fark formülü kullanarak sadeleştirmek.
cos⁡(x+y−y)=cos⁡x\cos(x + y - y) = \cos x
cos⁡(C−D)=cos⁡Ccos⁡D+sin⁡Csin⁡D\cos(C - D) = \cos C \cos D + \sin C \sin D fark formülünde C=x+yC = x + y ve D=yD = y alındığında paydadaki ifade elde edilir.
3
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade hali bulmak.
sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} temel trigonometrik özdeşliği kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam ve kosinüs fark formülleri kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru