Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x2−4x+3)−log⁡x−3(x−1)=1\log_2(x^2 - 4x + 3) - \log_{x-3}(x-1) = 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    6+26 + \sqrt{2}
  3. 7+27 + \sqrt{2}Cevap
  4. D
    2+22 + \sqrt{2}
  5. E
    4

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamı 7+27 + \sqrt{2} olur.
Denklemin doğru çözümünde x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4 tanım kümesi koşulları altında değişken değiştirme yapılarak (a−1)(a+b)=0(a-1)(a+b)=0 elde edilir. Buradan x=5x=5 ve x=2+2x=2+\sqrt{2} kökleri bulunur. Bu iki kök tanım kümesini sağladığından toplamları 7+27+\sqrt{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesini belirleriz.
x2−4x+3>0  ⟹  (x−3)(x−1)>0  ⟹  x>3x^2 - 4x + 3 > 0 \implies (x-3)(x-1) > 0 \implies x > 3 veya x<1x < 1.
x−3>0  ⟹  x>3x-3 > 0 \implies x > 3.
x−3≠1  ⟹  x≠4x-3 \neq 1 \implies x \neq 4.
x−1>0  ⟹  x>1x-1 > 0 \implies x > 1.
Bu koşulların ortak kesişimi: x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4 aralığıdır.
Logaritma tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması zorunluluğundan dolayı denklemin geçerli tanım aralığ�� belirlenmelidir.
2
Denklemi aynı logaritma tabanına indirgeriz.
x2−4x+3=(x−3)(x−1)x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) olduğundan, log⁡2(x2−4x+3)=log⁡2(x−3)+log⁡2(x−1)\log_2(x^2 - 4x + 3) = \log_2(x-3) + \log_2(x-1) yazılır.
İkinci terim için taban değiştirme kuralı uygulanarak log⁡x−3(x−1)=log⁡2(x−1)log⁡2(x−3)\log_{x-3}(x-1) = \frac{\log_2(x-1)}{\log_2(x-3)} elde edilir.
Değişken değiştirmeyi kolaylaştırmak amacıyla tüm ifadeler 2 tabanına dönüştürülmüştür.
3
a=log⁡2(x−3)a = \log_2(x-3) ve b=log⁡2(x−1)b = \log_2(x-1) değişken değiştirmelerini yaparak denklemi çözülebilir bir cebirsel forma getiririz.
a+b−ba=1a + b - \frac{b}{a} = 1 elde edilir. Payda eşitlendiğinde:
a2+ab−b=a  ⟹  a2−a+b(a−1)=0  ⟹  (a−1)(a+b)=0a^2 + ab - b = a \implies a^2 - a + b(a - 1) = 0 \implies (a - 1)(a + b) = 0 denklemine ulaşılır.
Logaritmik denklemi çarpanlarına ayırarak olası kök durumlarını incelemek kolaylaştırılmıştır.
4
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kök adaylarını buluruz.
1. Durum: a−1=0  ⟹  a=1  ⟹  log⁡2(x−3)=1  ⟹  x−3=2  ⟹  x=5a - 1 = 0 \implies a = 1 \implies \log_2(x-3) = 1 \implies x - 3 = 2 \implies x = 5.
2. Durum: a+b=0  ⟹  b=−a  ⟹  log⁡2(x−1)=−log⁡2(x−3)  ⟹  log⁡2(x−1)=log⁡2(1x−3)  ⟹  (x−1)(x−3)=1  ⟹  x2−4x+2=0  ⟹  x=2±2a + b = 0 \implies b = -a \implies \log_2(x-1) = -\log_2(x-3) \implies \log_2(x-1) = \log_2\left(\frac{1}{x-3}\right) \implies (x-1)(x-3) = 1 \implies x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2} bulunur.
Her bir cebirsel çarpanın sıfır olması durumu ayrı kökler üretir.
5
Elde edilen kök adaylarını başlangıçta belirlenen tanım kümesi (x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4) ile karşılaştırırız.
x=5x = 5 değeri tanım kümesindedir.
x=2+2≈3.414x = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414 değeri tanım kümesindedir.
x=2−2≈0.586<3x = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586 < 3 olduğundan tanım kümesi dışındadır ve elenir.
Geçerli köklerin toplamı: 5+(2+2)=7+25 + (2 + \sqrt{2}) = 7 + \sqrt{2} olarak bulunur.
Bulunan tüm cebirsel köklerin logaritma kurallarına göre tanımlı birer sayı üretip üretmediği test edilerek yalancı kökler ayıklanmalıdır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Denklemler
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru