Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorToplam ve Fark Formülleri
α=arctan⁡(12)+arctan⁡(18)+arctan⁡(118)+arctan⁡(132)\alpha = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{8}\right) + \arctan\left(\frac{1}{18}\right) + \arctan\left(\frac{1}{32}\right)

olduğuna göre, tan⁡(α+π4)\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    45\frac{4}{5}
  2. B
    −19-\frac{1}{9}
  3. C
    11
  4. 99Cevap
  5. E
    95\frac{9}{5}

Cevap

Doğru cevap 9 değerini veren seçenektir.
Teleskopik toplam yöntemiyle α=arctan⁡(9)−π4\alpha = \arctan(9) - \frac{\pi}{4} olarak sadeleşir. Bu eşitlikten α+π4=arctan⁡(9)\alpha + \frac{\pi}{4} = \arctan(9) yazılır. Her iki tarafın tanjantı alındığında tan⁡(α+π4)=9\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 9 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir terimin genel biçimini belirlemek için terimleri analiz edelim.
Terimler n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 için arctan⁡(12n2)\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) formundadır.
Toplamdaki terimlerin düzenini ve teleskopik (ardışık sadeleşen) bir yapıya dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini anlamak için.
2
arctan⁡(12n2)\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) ifadesini toplam-fark formüllerini kullanabileceğimiz bir biçimde yeniden yazalım.
arctan⁡(12n2)=arctan⁡(24n2)=arctan⁡((2n+1)−(2n−1)1+(2n−1)(2n+1))\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) = \arctan\left(\frac{2}{4n^2}\right) = \arctan\left(\frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n-1)(2n+1)}\right) elde edilir.
Tanjant fark formülü olan tan⁡(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} özdeşliğini ters trigonometrik fonksiyonlara uygulayabilmek için.
3
Elde ettiğimiz ifadeye arctan fark formülünü uygulayalım.
arctan⁡(12n2)=arctan⁡(2n+1)−arctan⁡(2n−1)\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) = \arctan(2n+1) - \arctan(2n-1) olur.
Toplamı teleskopik bir seriye dönüştürerek terimlerin birbirini götürmesini sağlamak için.
4
n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerlerini yazarak terimleri toplayalım.
α=(arctan⁡(3)−arctan⁡(1))+(arctan⁡(5)−arctan⁡(3))+(arctan⁡(7)−arctan⁡(5))+(arctan⁡(9)−arctan⁡(7))=arctan⁡(9)−arctan⁡(1)\alpha = (\arctan(3) - \arctan(1)) + (\arctan(5) - \arctan(3)) + (\arctan(7) - \arctan(5)) + (\arctan(9) - \arctan(7)) = \arctan(9) - \arctan(1) elde edilir.
Teleskopik toplam sayesinde aradaki terimleri sadeleştirmek için.
5
arctan⁡(1)=π4\arctan(1) = \frac{\pi}{4} değerini yerine yazarak α\alpha açısını düzenleyelim ve tan⁡(α+π4)\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) değerini bulalım.
α=arctan⁡(9)−π4  ⟹  α+π4=arctan⁡(9)\alpha = \arctan(9) - \frac{\pi}{4} \implies \alpha + \frac{\pi}{4} = \arctan(9) olur. Buradan tan⁡(α+π4)=tan⁡(arctan⁡(9))=9\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \tan(\arctan(9)) = 9 bulunur.
İstenen ifadenin nihai değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Tanjant toplam ve fark formülleri yardımıyla ters tanjant (arctan) ifadelerinin fark biçiminde yazılması ve teleskopik toplam yöntemiyle sadeleştirilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru