Examkin

Soru

Zorluk: ZorToplam ve Fark Formülleri
x=arctan⁡(2)+arctan⁡(13)x = \arctan(2) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right)
y=arctan⁡(3)−arctan⁡(12)y = \arctan(3) - \arctan\left(\frac{1}{2}\right)

olmak üzere, cos⁡(x+y)\cos(x + y) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    −45-\frac{4}{5}
  2. −35-\frac{3}{5}Cevap
  3. C
    −25-\frac{2}{5}
  4. D
    35\frac{3}{5}
  5. E
    45\frac{4}{5}

Cevap

cos⁡(x+y)\cos(x + y) ifadesinin değeri −35-\frac{3}{5}'tir.
Verilen xx ve yy ifadelerinden tanjant toplam ve fark formülleri kullanılarak sırasıyla tan⁡x=7\tan x = 7 ve tan⁡y=1\tan y = 1 elde edilir. Bu değerler kullanılarak tan⁡(x+y)=−43\tan(x+y) = -\frac{4}{3} bulunur. Açılar analiz edildiğinde xx açısının birinci bölgede, yy açısının ise tam olarak π4\frac{\pi}{4} olduğu görülür. Buradan x+yx+y açısının ikinci bölgede olduğu belirlenir. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, tanjantı −43-\frac{4}{3} olan açının kosinüsü −35-\frac{3}{5} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
xx açısının tanjant değerini toplam formülü yardımıyla hesaplamak.
tan⁡x=7\tan x = 7 olur.
x=arctan⁡(2)+arctan⁡(1/3)x = \arctan(2) + \arctan(1/3) eşitliğinde her iki tarafın tanjantı alınarak tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} formülü uygulanır: tan⁡x=2+1/31−2⋅1/3=7/31/3=7\tan x = \frac{2 + 1/3}{1 - 2 \cdot 1/3} = \frac{7/3}{1/3} = 7 bulunur.
2
yy açısının tanjant değerini fark formülü yardımıyla hesaplamak.
tan⁡y=1\tan y = 1 olur.
y=arctan⁡(3)−arctan⁡(1/2)y = \arctan(3) - \arctan(1/2) eşitliğinde her iki tarafın tanjantı alınarak tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} formülü uygulanır: tan⁡y=3−1/21+3⋅1/2=5/25/2=1\tan y = \frac{3 - 1/2}{1 + 3 \cdot 1/2} = \frac{5/2}{5/2} = 1 bulunur.
3
xx ve yy açılarının bulundukları bölgeleri belirlemek.
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve y=π4y = \frac{\pi}{4} olur.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer kümesi (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) aralığıdır. Pozitif değerler için açılar birinci bölgededir. 2>02 > 0 ve 1/3>01/3 > 0 olduğundan arctan⁡(2)\arctan(2) ve arctan⁡(1/3)\arctan(1/3) dar açılardır. Toplamları olan xx açısı da tan⁡x=7>0\tan x = 7 > 0 olduğundan birinci bölgededir. Benzer şekilde, 3>1/2>03 > 1/2 > 0 olduğundan 0<arctan⁡(1/2)<arctan⁡(3)<π20 < \arctan(1/2) < \arctan(3) < \frac{\pi}{2} ve farkları olan yy açısı dar açıdır. tan⁡y=1\tan y = 1 olduğundan y=π4y = \frac{\pi}{4} bulunur.
4
tan⁡(x+y)\tan(x+y) değerini hesaplamak ve x+yx+y açısının bölgesini belirlemek.
tan⁡(x+y)=−43\tan(x+y) = -\frac{4}{3} olur ve x+yx+y a��ısı ikinci bölgededir.
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y=7+11−7⋅1=8−6=−43\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = \frac{7 + 1}{1 - 7 \cdot 1} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3} bulunur. x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve y=π4y = \frac{\pi}{4} olduğundan, x+y∈(π4,3π4)x+y \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığındadır. Bu aralıkta tanjantı negatif olan açılar ikinci bölgededir (x+y∈(π2,3π4)x+y \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)).
5
İkinci bölgedeki x+yx+y açısının kosinüs değerini dik üçgen yardımıyla bulmak.
cos⁡(x+y)=−35\cos(x+y) = -\frac{3}{5} olur.
Tanjantı 43\frac{4}{3} olan açının dik üçgendeki komşu kenarı 3, karşı kenarı 4 ve hipotenüsü 5 birimdir. Açı ikinci bölgede olduğundan kosinüs değeri negatiftir. Dolayısıyla cos⁡(x+y)=−35\cos(x+y) = -\frac{3}{5} olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlar ile tanjant toplam ve fark formüllerinin birlikte uygulanması ve açıların bölge analizinin yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru