Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYarım Açı Formülleri
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
x2−(tan⁡θ−cot⁡θ)x−1=0x^2 - (\tan\theta - \cot\theta)x - 1 = 0

denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir.

x12+x22=6x_1^2 + x_2^2 = 6
olduğuna göre, cos⁡(θ+π8)\cos\left(\theta + \frac{\pi}{8}\right) ifadesinin de��eri kaçtır?
  1. −22-\frac{\sqrt{2}}{2}Cevap
  2. B
    22\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. C
    −1-1
  4. D
    −12-\frac{1}{2}
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

İstenen ifadenin doğru değeri negatif kök iki bölü iki olup, ikinci bölgedeki kosinüs değerinin negatif olmasından kaynaklanır.
Köklerin kareleri toplamı özdeşliği ve kök-katsayı bağıntıları kullanılarak (tan⁡θ−cot⁡θ)2=4(\tan\theta - \cot\theta)^2 = 4 bulunur. θ\theta açısının verilen aralığında tan⁡θ<cot⁡θ\tan\theta < \cot\theta olduğundan farkları −2-2 olmalıdır. tan⁡θ−cot⁡θ=−2cot⁡(2θ)\tan\theta - \cot\theta = -2\cot(2\theta) yarım açı özdeşliğiyle cot⁡(2θ)=1\cot(2\theta) = 1 elde edilir. 2θ∈(π,3π/2)2\theta \in (\pi, 3\pi/2) olduğundan 2θ=5π/42\theta = 5\pi/4 ve θ=5π/8\theta = 5\pi/8 bulunur. Buradan istenen ifade cos⁡(3π/4)=−2/2\cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kök-katsayı (Vieta) bağıntılarını yazma
x1+x2=tan⁡θ−cot⁡θx_1 + x_2 = \tan\theta - \cot\theta ve x1x2=−1x_1 x_2 = -1
İkinci dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için
2
Köklerin kareleri toplamı bilgisini kullanma
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2  ⟹  6=(tan⁡θ−cot⁡θ)2−2(−1)  ⟹  (tan⁡θ−cot⁡θ)2=4x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \implies 6 = (\tan\theta - \cot\theta)^2 - 2(-1) \implies (\tan\theta - \cot\theta)^2 = 4
Verilen köklerin kareleri toplamı değerini denklem katsayıları cinsinden ifade etmek için
3
Açının bulunduğu bölgeye göre işaret analizi yapma
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında tan⁡θ<−1\tan\theta < -1 ve −1<cot⁡θ<0-1 < \cot\theta < 0 olduğundan, tan⁡θ<cot⁡θ  ⟹  tan⁡θ−cot⁡θ<0\tan\theta < \cot\theta \implies \tan\theta - \cot\theta < 0 olur. Buradan tan⁡θ−cot⁡θ=−2\tan\theta - \cot\theta = -2 elde edilir.
Karesi 4 olan ifadenin pozitif veya negatif değerlerinden hangisine eşit olduğunu belirlemek için
4
Yarım açı özdeşliğini kullanma
tan⁡θ−cot⁡θ=sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θsin⁡θ=sin⁡2θ−cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ=−cos⁡(2θ)12sin⁡(2θ)=−2cot⁡(2θ)\tan\theta - \cot\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta - \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{-\cos(2\theta)}{\frac{1}{2}\sin(2\theta)} = -2\cot(2\theta)

−2cot⁡(2θ)=−2  ⟹  cot⁡(2θ)=1-2\cot(2\theta) = -2 \implies \cot(2\theta) = 1
İfadeyi yarım açı formülleriyle basitleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için
5
Açının değerini bulma
θ∈(π2,3π4)  ⟹  2θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) \implies 2\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığındadır. Bu bölgede cot⁡(2θ)=1\cot(2\theta) = 1 denklemini sağlayan açı 2θ=5π4  ⟹  θ=5π82\theta = \frac{5\pi}{4} \implies \theta = \frac{5\pi}{8} olur.
Sınırlandırılmış tanım kümesine uygun olan kökü bulmak için
6
İstenen ifadeyi hesaplama
cos⁡(θ+π8)=cos⁡(5π8+π8)=cos⁡(3π4)=−22\cos\left(\theta + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Bulunan θ\theta açısını yerine yazarak hedef trigonometrik değeri bulmak için

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde toplam-fark ve yarım açı (iki kat açı) formüllerinin uygun bölgelerdeki işaret kurallarına dikkat edilerek uygulanması.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki tan⁡θ−cot⁡θ\tan\theta - \cot\theta ifadesini doğrudan sin⁡θ\sin\theta ve cos⁡θ\cos\theta cinsinden yazıp payda eşitleyerek −2cot⁡(2θ)-2\cot(2\theta) değerine ulaşmak, doğrudan yarım açı formüllerini hatırlamakta zorlanan öğrenciler için alternatif bir çözüm yoludur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru