Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Boyutta Hareket

Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda, yerden hh y��ksekliğindeki bir noktadan yatay doğrultuda v0v_0 hızıyla fırlatılan bir cismin, hız vektörü ile ivme vektörü arasındaki açının 45∘45^\circ olduğu andaki yerden yüksekliği 35 m35\text{ m}'dir.

Cismin yere çarpma hızının büyüklüğü 50 m/s50\text{ m/s} olduğuna göre, cismin ilk fırlatıldığı yükseklik hh kaç metredir? (g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 alınız.)

Cevap: 80 m

Cevap

Cismin ilk fırlatıldığı yükseklik 80 m80\text{ m}'dir.
Cismin ivmesi düşey doğrultudaki yer çekimi ivmesidir. Hız vektörü ile ivme arasındaki açının 45∘45^\circ olduğu anda yatay ve düşey hız bileşenleri eşit büyüklüktedir (vy=v0v_y = v_0). Düşey serbest düşme formülü vy2=2gy1v_y^2 = 2gy_1 kullanılarak bu ana kadar alınan yol y1=v02/20y_1 = v_0^2 / 20 olarak bulunur. Yere çarpma hızı için kinetik enerji değişimi veya kinematik bağıntı kullanılarak vyer2=v02+2ghv_{yer}^2 = v_0^2 + 2gh yazılır. İki denklem birleştirildiğinde cismin ilk fırlatıldığı yükseklik h=80 mh = 80\text{ m} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açı ilişkisini kullanarak hız bileşenlerini belirleme.
vy=v0v_y = v_0 eşitliği elde edilir.
Yatay atış hareketinde cismin ivmesi yer çekimi ivmesi (gg) olup düşey doğrultudadır. Hız vektör��nün ivme vektörü ile yaptığı açının 45∘45^\circ olması, hızın yatay ve düşey bileşenlerinin büyüklükçe birbirine eşit olduğunu gösterir.
2
Düşeyde ilk aralıkta alınan yolu ifade etme.
y1=v0220y_1 = \frac{v_0^2}{20} ve h=v0220+35h = \frac{v_0^2}{20} + 35 denklemleri kurulur.
Düşeydeki serbest düşme hareketi için zamansız hız formülü vy2=2gy1v_y^2 = 2gy_1 uygulanır. Cismin yerden yüksekliği 35 m35\text{ m} olduğuna göre ilk fırlatılma yüksekliği h=y1+35h = y_1 + 35 olur.
3
Yere çarpma hızı için kinetik denklem yazma.
2500=v02+20h2500 = v_0^2 + 20h denklemi kurulur.
Yere çarpma hızının büyüklüğü vyer=50 m/sv_{yer} = 50\text{ m/s} olduğundan, toplam mekanik enerjinin korunumu veya yatay-düşey hızların kareleri toplamı yardımıyla vyer2=v02+2ghv_{yer}^2 = v_0^2 + 2gh eşitliği yazılır.
4
Denklem sistemini çözerek hh değerini hesaplama.
h=80 mh = 80\text{ m} bulunur.
v02=20(h−35)v_0^2 = 20(h - 35) ifadesi 2500=v02+20h2500 = v_0^2 + 20h denkleminde yerine konularak tek bilinmeyenli denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Yatay atış hareketinde yatay ve düşey doğrultudaki hareketlerin birbirinden bağımsız olması ve vektörel hız-ivme ilişkileri.

Alternatif Yöntem

Soruyu zamana bağlı denklemlerle çözmek de mümkündür. Hız bileşenlerinin eşitlendiği an t1t_1 olsun. Bu durumda vy1=gt1=10t1v_{y1} = g t_1 = 10 t_1 olur. Düşeyde alınan yol y1=5t12y_1 = 5 t_1^2 olup h=5t12+35h = 5 t_1^2 + 35 yazılır. Yere düşme süresi tut_u olsun. Düşey hız vyer,y=10tuv_{yer,y} = 10 t_u olur. Yere çarpma hızından 502=v02+(10tu)250^2 = v_0^2 + (10 t_u)^2 yazılır. Burada v0=10t1v_0 = 10 t_1 olduğundan 2500=100t12+100tu2  ⟹  t12+tu2=252500 = 100 t_1^2 + 100 t_u^2 \implies t_1^2 + t_u^2 = 25 bulunur. Ayrıca serbest düşme mesafesi h=5tu2h = 5 t_u^2 olduğundan 5tu2=5t12+35  ⟹  tu2−t12=75 t_u^2 = 5 t_1^2 + 35 \implies t_u^2 - t_1^2 = 7 elde edilir. Bu iki zaman denklemi taraf tarafa toplanırsa 2tu2=32  ⟹  tu2=162 t_u^2 = 32 \implies t_u^2 = 16 bulunur. Buradan h=5tu2=5⋅16=80 mh = 5 t_u^2 = 5 \cdot 16 = 80\text{ m} sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Boyutta Hareket

Bu konudan daha fazla soru