Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonu f(x) = \begin{cases} ax + 5, & x < 1 \… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} ax + 5, & x < 1 \\ x^2 - a, & x \geq 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasında limiti var olduğuna göre, $\lim_{x \to 1} f(x)$ limitinin değeri kaçtır?

Cevap: 3

Limitin değeri 3'tür.

Fonksiyonun

x = 1

noktasında limitinin bulunması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.

\lim_{x \to 1^-} f(x) = a + 5

\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 - a

ifadeleri eşitlendiğinde

a = -2

elde edilir. Bu

a

değeri limit ifadesinde yerine yazıldığında limit değeri 3 olarak bulunur.

Soldan ve sağdan limitleri

a

cinsinden bulunuz.

Soldan limit

a + 5

, sağdan limit

1 - a

olarak elde edilir.

Limitin var olması için kritik nokta olan

x = 1

noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.

Soldan ve sağdan limitleri eşitleyerek

a

parametresini hesaplayınız.

a + 5 = 1 - a \implies 2a = -4 \implies a = -2

x = 1

noktasında limitin varlığı bu eşitliği gerektirir.

Bulunan

a

değerini kullanarak limit değerini hesaplayınız.

Limit değeri 3 olur.

a = -2

değeri parçalı fonksiyon kurallarında yerine yazıldığında, soldan limit

-2 + 5 = 3

ve sağdan limit

1 - (-2) = 3

değerini verir.

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktadaki limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru