Examkin

Soru

Zorluk: ZorParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesinin birer alt kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={∣x2−4∣x−2+mx2,x<22x−n,2≤x≤4∣x2−7x+12∣x−4+k,x>4f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + mx^2, & x < 2 \\ 2x - n, & 2 \le x \le 4 \\ \frac{|x^2 - 7x + 12|}{x - 4} + k, & x > 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=2x = 2 ve x=4x = 4 noktalarında limitleri var olduğuna göre, 4m+2n+k4m + 2n + k toplamının değeri kaçtır?

Cevap: 15

Cevap

15
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki limitinin var olması için sol limiti olan 4m−44m - 4 değeri ile sağ limiti olan 4−n4 - n değerinin eşit olması gerekir, bu da bize 4m+n=84m + n = 8 denklemini verir. Benzer şekilde, x=4x = 4 noktasındaki limitinin var olması için sol limiti olan 8−n8 - n değeri ile sağ limiti olan 1+k1 + k değerinin eşit olması gerekir, bu da bize n+k=7n + k = 7 denklemini verir. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 4m+2n+k=154m + 2n + k = 15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 noktasındaki limitin varlığını incelemek için sol ve sağ limitleri belirleyelim.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) olmalıdır.
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.
2
x→2−x \to 2^- için limit değerini mutlak değerin işaretini inceleyerek hesaplayalım.
x<2x < 2 iken x2−4<0x^2 - 4 < 0 olduğundan ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) olur. Buradan sol limit lim⁡x→2−(−(x−2)(x+2)x−2+mx2)=lim⁡x→2−(−(x+2)+mx2)=−4+4m\lim_{x \to 2^-} \left( \frac{-(x-2)(x+2)}{x-2} + mx^2 \right) = \lim_{x \to 2^-} (-(x+2) + mx^2) = -4 + 4m olarak bulunur.
Mutlak değerin içi negatif olduğundan önüne eksi alarak çıkar ve 0/00/0 belirsizliği sadeleştirme ile giderilir.
3
x→2+x \to 2^+ için limit değerini hesaplayarak sol limite eşitleyelim ve birinci denklemi elde edelim.
lim⁡x→2+(2x−n)=4−n\lim_{x \to 2^+} (2x - n) = 4 - n olur. Sağ ve sol limitlerin eşitliğinden −4+4m=4−n  ⟹  4m+n=8-4 + 4m = 4 - n \implies 4m + n = 8 denklemi bulunur.
Sağ limit doğrudan yerine yazarak hesaplanır ve limitin varlığı için sol limite eşitlenir.
4
x=4x = 4 noktasındaki limitin varlığını incelemek için sol ve sağ limitleri belirleyelim.
lim⁡x→4−f(x)=lim⁡x→4+f(x)\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) olmalıdır.
x=4x = 4 noktası fonksiyonun bir diğer kritik noktası olup limitin varlığı için sağ ve sol limitler eşitlenmelidir.
5
x→4−x \to 4^- ve x→4+x \to 4^+ limit değerlerini hesaplayarak ikinci denklemi elde edelim.
Sol limit lim⁡x→4−(2x−n)=8−n\lim_{x \to 4^-} (2x - n) = 8 - n olur. Sağ limit için x>4x > 4 iken x2−7x+12>0x^2 - 7x + 12 > 0 olduğundan ∣x2−7x+12∣=(x−3)(x−4)|x^2 - 7x + 12| = (x-3)(x-4) olarak çıkar. Buradan sağ limit lim⁡x→4+((x−3)(x−4)x−4+k)=lim⁡x→4+(x−3+k)=1+k\lim_{x \to 4^+} \left( \frac{(x-3)(x-4)}{x-4} + k \right) = \lim_{x \to 4^+} (x - 3 + k) = 1 + k olur. Limitlerin eşitliğinden 8−n=1+k  ⟹  n+k=78 - n = 1 + k \implies n + k = 7 denklemi bulunur.
x>4x > 4 aralığında mutlak değerin içi pozitif olduğundan aynen çıkar ve belirsizlik sadeleştirme ile çözülür.
6
Elde edilen iki denklemi kullanarak istenen 4m+2n+k4m + 2n + k ifadesinin değerini bulalım.
4m+n=84m + n = 8 ve n+k=7n + k = 7 denklemleri taraf tarafa toplanırsa (4m+n)+(n+k)=8+7  ⟹  4m+2n+k=15(4m + n) + (n + k) = 8 + 7 \implies 4m + 2n + k = 15 elde edilir.
Sistemdeki bireysel parametreler tek başına bulunamasa da, taraf tarafa toplama işlemi doğrudan bizden istenen cebirsel kombinasyonu verir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik giderme yöntemleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru