Examkin

Limit ve Süreklilik

122 soru

Tüm türler122Çoktan seçmeli78Doğru / Yanlış23Sayısal21
Soru 1Soru →
Gerçel sayılar kümesinin birer alt kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={∣x2−4∣x−2+mx2,x<22x−n,2≤x≤4∣x2−7x+12∣x−4+k,x>4f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + mx^2, & x < 2 \\ 2x - n, & 2 \le x \le 4 \\ \frac{|x^2 - 7x + 12|}{x - 4} + k, & x > 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=2x = 2 ve x=4x = 4 noktalarında limitleri var olduğuna göre, 4m+2n+k4m + 2n + k toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki limitinin var olması için sol limiti olan 4m−44m - 4 değeri ile sağ limiti olan 4−n4 - n değerinin eşit olması gerekir, bu da bize 4m+n=84m + n = 8 denklemini verir. Benzer şekilde, x=4x = 4 noktasındaki limitinin var olması için sol limiti olan 8−n8 - n değeri ile sağ limiti olan 1+k1 + k değerinin eşit olması gerekir, bu da bize n+k=7n + k = 7 denklemini verir. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 4m+2n+k=154m + 2n + k = 15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 noktasındaki limitin varlığını incelemek için sol ve sağ limitleri belirleyelim.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) olmalıdır.
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.
2
x→2−x \to 2^- için limit değerini mutlak değerin işaretini inceleyerek hesaplayalım.
x<2x < 2 iken x2−4<0x^2 - 4 < 0 olduğundan ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) olur. Buradan sol limit lim⁡x→2−(−(x−2)(x+2)x−2+mx2)=lim⁡x→2−(−(x+2)+mx2)=−4+4m\lim_{x \to 2^-} \left( \frac{-(x-2)(x+2)}{x-2} + mx^2 \right) = \lim_{x \to 2^-} (-(x+2) + mx^2) = -4 + 4m olarak bulunur.
Mutlak değerin içi negatif olduğundan önüne eksi alarak çıkar ve 0/00/0 belirsizliği sadeleştirme ile giderilir.
3
x→2+x \to 2^+ için limit değerini hesaplayarak sol limite eşitleyelim ve birinci denklemi elde edelim.
lim⁡x→2+(2x−n)=4−n\lim_{x \to 2^+} (2x - n) = 4 - n olur. Sağ ve sol limitlerin eşitliğinden −4+4m=4−n  ⟹  4m+n=8-4 + 4m = 4 - n \implies 4m + n = 8 denklemi bulunur.
Sağ limit doğrudan yerine yazarak hesaplanır ve limitin varlığı için sol limite eşitlenir.
4
x=4x = 4 noktasındaki limitin varlığını incelemek için sol ve sağ limitleri belirleyelim.
lim⁡x→4−f(x)=lim⁡x→4+f(x)\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) olmalıdır.
x=4x = 4 noktası fonksiyonun bir diğer kritik noktası olup limitin varlığı için sağ ve sol limitler eşitlenmelidir.
5
x→4−x \to 4^- ve x→4+x \to 4^+ limit değerlerini hesaplayarak ikinci denklemi elde edelim.
Sol limit lim⁡x→4−(2x−n)=8−n\lim_{x \to 4^-} (2x - n) = 8 - n olur. Sağ limit için x>4x > 4 iken x2−7x+12>0x^2 - 7x + 12 > 0 olduğundan ∣x2−7x+12∣=(x−3)(x−4)|x^2 - 7x + 12| = (x-3)(x-4) olarak çıkar. Buradan sağ limit lim⁡x→4+((x−3)(x−4)x−4+k)=lim⁡x→4+(x−3+k)=1+k\lim_{x \to 4^+} \left( \frac{(x-3)(x-4)}{x-4} + k \right) = \lim_{x \to 4^+} (x - 3 + k) = 1 + k olur. Limitlerin eşitliğinden 8−n=1+k  ⟹  n+k=78 - n = 1 + k \implies n + k = 7 denklemi bulunur.
x>4x > 4 aralığında mutlak değerin içi pozitif olduğundan aynen çıkar ve belirsizlik sadeleştirme ile çözülür.
6
Elde edilen iki denklemi kullanarak istenen 4m+2n+k4m + 2n + k ifadesinin değerini bulalım.
4m+n=84m + n = 8 ve n+k=7n + k = 7 denklemleri taraf tarafa toplanırsa (4m+n)+(n+k)=8+7  ⟹  4m+2n+k=15(4m + n) + (n + k) = 8 + 7 \implies 4m + 2n + k = 15 elde edilir.
Sistemdeki bireysel parametreler tek başına bulunamasa da, taraf tarafa toplama işlemi doğrudan bizden istenen cebirsel kombinasyonu verir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik giderme yöntemleri.
Soru 2Soru →
lim⁡x→π62sin⁡2x+sin⁡x−12sin⁡2x−3sin⁡x+1\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin^2 x + \sin x - 1}{2\sin^2 x - 3\sin x + 1} limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −3-3

Cevap

Limit değeri -3 olarak bulunur.
Limit ifadesinde yerine yazma yapıldığında oluşan 0/0 belirsizliği, pay ve payda kısımlarının çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanın sadeleştirilmesi ve kalan ifadede limit değerinin hesaplanmasıyla çözülür. Sadeleştirilmiş ifade olan (sin x + 1) / (sin x - 1) limit noktasında -3 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesinde x = \frac{\pi}{6} değerini yerine yazarak belirsizlik durumunu kontrol edin.
Pay: 2(1/4) + 1/2 - 1 = 0, Payda: 2(1/4) - 3(1/2) + 1 = 0. Böylece 0/0 belirsizliği elde edilir.
Belirsizlik türünü tespit etmek ve çözüm stratejisi belirlemek için ilk adım olarak doğrudan yerine yazma uygulanır.
2
Pay ve paydadaki trigonometrik ifadeleri çarpanlarına ayırın.
2\sin^2 x + \sin x - 1 = (2\sin x - 1)(\sin x + 1) ve 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = (2\sin x - 1)(\sin x - 1) olarak çarpanlarına ayrılır.
Belirsizliğe yol açan (2\sin x - 1) çarpanını sadeleştirebilmek için ifadeleri çarpanlarına ayırmak gerekir.
3
Ortak çarpanları sadeleştirin ve kalan ifadede x = \frac{\pi}{6} yazarak limiti hesaplayın.
\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x + 1}{\sin x - 1} = \frac{1/2 + 1}{1/2 - 1} = \frac{3/2}{-1/2} = -3 elde edilir.
Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanı ortadan kaldırıldıktan sonra fonksiyonun o noktadaki limiti kalan ifadenin değeriyle bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadeler içeren limitlerde 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemi ile giderilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→2x2+a−3x2−4=b\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + a} - 3}{x^2 - 4} = b
eşitliği veriliyor.

Buna göre, a+1ba + \frac{1}{b} toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Toplamın değeri 11'dir.
Limitin bir gerçel sayı belirtmesi için payda sıfırken payın da sıfır olması (0/0 belirsizliği) gerekir. Buradan a = 5 bulunur. İfade eşleniği ile çarpılıp sadeleştirildiğinde limit değeri b = 1/6 olarak elde edilir. Dolayısıyla a + 1/b toplamı 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın sıfıra gitmesi durumunda limitin var olabilmesi için payın da sıfıra gitmesi gerektiğini belirleme.
x = 2 için \lim_{x \to 2} (\sqrt{x^2 + a} - 3) = 0 olmalıdır.
Eğer pay sıfıra gitmeseydi, sayı/0 durumundan limit bir gerçel sayıya eşit olamazdı.
2
a değerini hesaplama.
\sqrt{2^2 + a} - 3 = 0 \implies \sqrt{4 + a} = 3 \implies 4 + a = 9 \implies a = 5
Eşitliğin her iki tarafının karesi alınarak a yalnız bırakılır.
3
a = 5 değerini limit ifadesinde yerine yazıp eşlenik yardımıyla belirsizliği giderme.
\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2 + 5} - 3)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}{(x^2 - 4)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{(x^2 - 4)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}
Payın eşleniği ile hem pay hem payda çarpılarak iki kare farkı özdeşliği uygulanır.
4
Ortak terimleri sadeleştirip limiti hesaplama.
\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} = \frac{1}{\sqrt{4 + 5} + 3} = \frac{1}{6}
x^2 - 4 terimleri sadeleşir ve x yerine 2 yazılır. Bu değer b'ye eşittir (b = 1/6).
5
İstenen a + 1/b toplamını bulma.
a + \frac{1}{b} = 5 + 6 = 11
a = 5 ve b = 1/6 değerleri yerlerine konularak toplama işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Limit hesaplamada rasyonel ifadelerde 0/0 belirsizliğinin eşlenik yardımıyla giderilmesi.
Soru 4Soru →
lim⁡x→4x2−16x−2\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{\sqrt{x} - 2}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Limitin değeri 32'dir.
x = 4 değeri yerine yazıldığında oluşan 0/0 belirsizliği, pay kısmındaki x^2 - 16 ifadesinin (√x - 2)(√x + 2)(x + 4) şeklinde çarpanlarına ayrılması ve paydadaki √x - 2 terimiyle sadeleştirilmesi yoluyla giderilir. Sadeleşmiş ifadede x yerine 4 yazıldığında limitin gerçek değeri 32 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x = 4 değerini fonksiyonda yerine yazarak belirsizlik durumunu tespit etmek.
Pay kısmında 4^2 - 16 = 0, payda kısmında ise √4 - 2 = 0 elde edilir. Bu durum 0/0 belirsizliğidir.
Limit hesaplamalarında öncelikle doğrudan yerine yazma yöntemiyle belirsizlik olup olmadığı kontrol edilmelidir.
2
Paydaki ifadeyi paydadaki köklü çarpanı sadeleştirebilecek biçimde çarpanlar��na ayırmak.
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) özdeşliği yazılır. Daha sonra x - 4 ifadesi (√x - 2)(√x + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılarak pay ifadesi (√x - 2)(√x + 2)(x + 4) haline getirilir.
0/0 belirsizliğini gidermek amacıyla pay ve paydadaki ortak sıfır çarpanı (√x - 2) ortaya çıkarılmalıdır.
3
Pay ve paydadaki ortak olan (√x - 2) terimlerini sadeleştirmek.
İfade lim_{x -> 4} (√x + 2)(x + 4) biçimine sadeleşir.
x, 4 değerine yaklaşırken x asla 4'e eşit olmadığından √x - 2 terimi sıfırdan farklıdır ve sadeleştirilebilir.
4
Sadeleşmiş ifadede x yerine 4 yazarak nihai limit değerini hesaplamak.
(√4 + 2)(4 + 4) = (2 + 2) * 8 = 4 * 8 = 32 bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra geriye kalan polinomyal ve köklü ifadeler tanımlı oldukları aralıkta sürekli olduğundan limit değeri doğrudan yerine yazarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Köklü İfadeler İçeren 0/0 Belirsizliklerinde Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme
Soru 5Soru →
f(x)={3x−1,x<22x+3,x≥2f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 2 \\ 2x + 3, & x \geq 2 \end{cases} biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için, lim⁡x→3−f(x−1)\lim_{x \to 3^-} f(x - 1) limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Limit hesaplanırken x→3−x \to 3^- yönelimi için x<3x < 3 olur. Buradan x−1<2x - 1 < 2 elde edilir. Bu durum, t=x−1t = x - 1 değişkeninin 22 değerine soldan yaklaştığını (t→2−t \to 2^-) gösterir. Parçalı fonksiyonda x<2x < 2 için tanımlı olan 3x−13x - 1 kuralı kullanılarak limit değeri 3(2)−1=53(2) - 1 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Limitte değişken değiştirme işlemi yapmak için t=x−1t = x - 1 dönüşümü uygulanır.
x→3−x \to 3^- iken tt değişkeninin hangi değere yaklaştığı araştırılır.
Ötelenmiş fonksiyonların limitini hesaplarken yaklaşım yönünü doğru belirlemek gerekir.
2
xx değişkeni 33'e soldan yaklaştığı için x<3x < 3 eşitsizliği yazılır ve her iki taraftan 11 çıkarılır.
x−1<2x - 1 < 2 elde edilir, yani t→2−t \to 2^- olur.
Yaklaşım y��nünü belirlemek için eşitsizlik kurallarından yararlanılır.
3
t→2−t \to 2^- limiti parçalı fonksiyonda yerine yazılır. t<2t < 2 olduğu için f(t)=3t−1f(t) = 3t - 1 kuralı seçilir.
lim⁡t→2−(3t−1)=3(2)−1=5\lim_{t \to 2^-} (3t - 1) = 3(2) - 1 = 5 olarak bulunur.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda limit hesaplanırken kritik noktaya hangi yönden yaklaşıldığına göre ilgili fonksiyon dalı seçilir.

Anahtar Kavram

Sağdan ve soldan limit kavramı ile ötelenmiş fonksiyonlarda limit hesabı.
Soru 6Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu;

* x<2x < 2 için f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2
* x≥2x \geq 2 için f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre,

lim⁡x→1+f(x+1)\lim_{x \to 1^+} f(x + 1)

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1 değeridir.
Limit değişkeni t=x+1t = x + 1 olarak seçildiğinde, xx değeri 1'e sağdan yaklaşırken tt değeri 2'ye sağdan yaklaşır. Bu durumda fonksiyonun x≥2x \geq 2 için tanımlı olan 2x−32x - 3 parçası kullanılır. t=2t = 2 değeri bu parçada yerine yazıldığında limit değeri 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değişkenini dönüştürmek için t=x+1t = x + 1 tanımı yapılır.
x→1+x \to 1^+ iken t→2+t \to 2^+ olur.
xx değeri 1'e sağdan (1'den büyük değerlerle) yaklaşırken, x+1x + 1 değeri de 2'ye sağdan yaklaşır.
2
Yeni limit ifadesi yazılır ve fonksiyondaki uygun parça seçilir.
lim⁡t→2+f(t)\lim_{t \to 2^+} f(t) limitinde t≥2t \geq 2 parçası kullanılır.
t→2+t \to 2^+ ifadesi tt değerlerinin 2'den büyük olduğunu belirttiği için x≥2x \geq 2 koşulunu sağlayan parça seçilmelidir.
3
Seçilen fonksiyonda limit değeri hesaplanır.
lim⁡t→2+(2t−3)=2(2)−3=1\lim_{t \to 2^+} (2t - 3) = 2(2) - 3 = 1 bulunur.
2t−32t - 3 doğrusal fonksiyonunun t=2t = 2 noktasındaki limiti, doğrudan bu noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Sağdan limit ve limit değerinin değişken dönüşümü yardımıyla hesaplanması.
Soru 7Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={ax+5,x<1x2−a,x≥1f(x) = \begin{cases} ax + 5, & x < 1 \\ x^2 - a, & x \geq 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti var olduğuna göre, lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limitin değeri 3'tür.
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasında limitinin bulunması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. lim⁡x→1−f(x)=a+5\lim_{x \to 1^-} f(x) = a + 5 ve lim⁡x→1+f(x)=1−a\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 - a ifadeleri eşitlendiğinde a=−2a = -2 elde edilir. Bu aa değeri limit ifadesinde yerine yazıldığında limit değeri 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soldan ve sağdan limitleri aa cinsinden bulunuz.
Soldan limit a+5a + 5, sağdan limit 1−a1 - a olarak elde edilir.
Limitin var olması için kritik nokta olan x=1x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.
2
Soldan ve sağdan limitleri eşitleyerek aa parametresini hesaplayınız.
a+5=1−a  ⟹  2a=−4  ⟹  a=−2a + 5 = 1 - a \implies 2a = -4 \implies a = -2
x=1x = 1 noktasında limitin varlığı bu eşitliği gerektirir.
3
Bulunan aa değerini kullanarak limit değerini hesaplayınız.
Limit değeri 3 olur.
a=−2a = -2 değeri parçalı fonksiyon kurallarında yerine yazıldığında, soldan limit −2+5=3-2 + 5 = 3 ve sağdan limit 1−(−2)=31 - (-2) = 3 değerini verir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktadaki limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 8Soru →
f(x)={4−x,x<3x2−5,x≥3f(x) = \begin{cases} 4 - x, & x < 3 \\ x^2 - 5, & x \geq 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için,

lim⁡x→1+f(4−x)\lim_{x \to 1^+} f(4 - x)

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Limit değeri 1'dir.
Limit değişkeni 11 değerine sağdan yaklaşırken x>1x > 1 olur. Buradan −x<−1-x < -1 ve 4−x<34 - x < 3 bulunur. Yani, limit 33 değerine soldan yaklaşmaktadır. Fonksiyonun 33 değerinden küçük sayılar için kuralı 4−x4 - x olduğundan, limit değeri 4−3=14 - 3 = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değişkeninin yaklaşım yönünü belirleme
x→1+x \to 1^+ iken x>1x > 1 olur. Eşitsizliği −1-1 ile çarparsak −x<−1-x < -1 elde edilir. Her iki tarafa 44 eklediğimizde 4−x<34 - x < 3 elde edilir. Bu durum, 4−x4 - x ifadesinin 33 değerine soldan yaklaştığını (4−x→3−4 - x \to 3^-) gösterir.
Bileşke ve dönüşüm içeren limitlerde içteki ifadenin limit noktasına hangi yönden yaklaştığını doğru tespit etmek gerekir.
2
Fonksiyonun parçalı tanımından uygun kuralı seçme
t=4−xt = 4 - x dönüşümü yapıldığında limit lim⁡t→3−f(t)\lim_{t \to 3^-} f(t) haline gelir. Tanıma göre t<3t < 3 için fonksiyon kuralı f(t)=4−tf(t) = 4 - t biçimindedir.
Soldan yaklaşımda (t→3−t \to 3^-) değişken değerleri 33 noktasından küçük olduğundan t<3t < 3 aralığına ait fonksiyon parçası seçilmelidir.
3
Limit değerini hesaplama
lim⁡t→3−(4−t)=4−3=1\lim_{t \to 3^-} (4 - t) = 4 - 3 = 1 bulunur.
Seçilen sürekli fonksiyonda tt yerine limit değeri olan 33 yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sağdan ve soldan limit kavramı ile değişken dönüşümü yardımıyla limit hesaplama
Soru 9Soru →

Her xx gerçel sayısı için bir ff fonksiyonu,

* x<2x < 2 ise f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1
* x≥2x \geq 2 ise f(x)=2x+kf(x) = 2x + k

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→1f(x+1)\lim_{x \to 1} f(x + 1)

limitinin bir gerçel sayı değeri olduğu bilindiğine göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limit değerinin bir gerçel sayıya eşit olması için fonksiyonun limit noktasındaki sağ ve sol limitleri birbirine eşit olmalıdır. Buradan k değeri 3 olarak bulunur.
Limit değişkeni olan x değeri bir sayısına yaklaşırken, fonksiyonun içerisindeki x + 1 ifadesi iki değerine yaklaşır. Dolayısıyla soruda verilen limit aslında fonksiyonun iki noktasındaki limitidir. Bu limitin var olması için fonksiyonun iki noktasındaki sağ ve sol limitlerinin eşit olması gerekir. İki noktasındaki sol limit yedi, sağ limit ise dört artı k değerini alır. Bu değerler eşitlendiğinde k sayısı üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değişkeninin yaklaşım noktasını belirleme
x→1x \to 1 iken x+1→2x + 1 \to 2 olur.
Fonksiyonun limitini hesaplamak için limit değişkeni yerine yazılıp yaklaşım noktası belirlenir.
2
Sağdan ve soldan limitleri yazma
Sol limit: lim⁡t→2−f(t)=3(2)+1=7\lim_{t \to 2^-} f(t) = 3(2) + 1 = 7. Sağ limit: lim⁡t→2+f(t)=2(2)+k=4+k\lim_{t \to 2^+} f(t) = 2(2) + k = 4 + k.
Bir noktada limitin var olması için sağ ve sol limitlerin ayrı ayrı hesaplanması gerekir.
3
Sağ ve sol limit değerlerini eşitleme
7 = 4 + k denkleminden k = 3 elde edilir.
Limitin var olabilmesi için sağ ve sol limit değerlerinin birbirine eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

Sıfırdan farklı her aa gerçel sayısı için lim⁡x→a+∣x2−a2∣x−a+lim⁡x→a−∣x2−a2∣x−a=2a\lim_{x \to a^+} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + \lim_{x \to a^-} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} = 2a eşitliği doğrudur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen limitlerin toplamı, sıfırdan farklı her aa gerçel sayısı için 2a2a değerine değil, her zaman 00 değerine eşittir. Bu nedenle ifade yanlıştır.
Verilen limitlerin toplamı her zaman sıfıra eşittir. İfadede iddia edilen 2a2a değeri, yalnızca a=0a=0 için geçerli olup sıfırdan farklı gerçel sayılar için yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
a>0a > 0 durumunu ele alarak sağdan limit değerini hesaplayalım.
x→a+x \to a^+ için x>a>0x > a > 0 olduğundan x2>a2x^2 > a^2 ve ∣x2−a2∣=x2−a2|x^2 - a^2| = x^2 - a^2 olur. Limit değeri lim⁡x→a+x2−a2x−a=lim⁡x→a+(x+a)=2a\lim_{x \to a^+} \frac{x^2 - a^2}{x - a} = \lim_{x \to a^+} (x + a) = 2a olarak bulunur.
Sağdan yaklaşırken xx değeri aa değerinden büyük olduğu için mutlak değerin içi pozitif olur.
2
a>0a > 0 durumunda soldan limit değerini hesaplayalım.
x→a−x \to a^- için 0<x<a0 < x < a olduğundan x2<a2x^2 < a^2 ve ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) olur. Limit değeri lim⁡x→a−−(x2−a2)x−a=lim⁡x→a−−(x+a)=−2a\lim_{x \to a^-} \frac{-(x^2 - a^2)}{x - a} = \lim_{x \to a^-} -(x + a) = -2a olarak bulunur.
Soldan yaklaşırken xx değeri aa değerinden küçük olduğu için mutlak değerin içi negatif olur.
3
Bulunan sağ ve sol limit değerlerini toplayarak ifadeyi test edelim.
Sağdan limit 2a2a, soldan limit −2a-2a olduğundan toplamları 2a+(−2a)=02a + (-2a) = 0 olur.
Limitlerin toplamı 00 olup, a≠0a \neq 0 koşulu altında bu değer 2a2a değerinden farklıdır.

Anahtar Kavram

Mutlak değer fonksiyonunun kritik noktalarındaki limitleri hesaplanırken, sağdan ve soldan yaklaşım durumlarına göre mutlak değerin içinin işareti belirlenir ve limit ayrı ayrı hesaplanır.

Alternatif Yöntem

Alternatif bir çözüm olarak, a=1a = 1 gibi özel bir değer seçilerek sağ limit 22 ve sol limit −2-2 olarak hesaplanabilir. Toplam 00 çıkarken 2a=22a = 2 olduğundan ifadenin yanlış olduğu kolayca görülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={3−x2,x<1ax,x≥1f(x) = {\begin{cases} 3 - x^2, & x < 1 \\ ax, & x \geq 1 \end{cases}}

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→2f(f(x−1))\lim_{x \to 2} f(f(x - 1))

limiti bir gerçel sayıya eşit olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

a sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı -1 olur.
Limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Değişken değiştirme sonrası sol limit 2a olarak bulunur. Sağ limit ise a'nın işaretine göre incelenir: a > 0 iken limit a^2 olup a = 2 bulunur; a < 0 iken limit 3 - a^2 olup a = -3 bulunur. Bu değerlerin toplamı -1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme ile limiti sadeleştirme
y=x−1y = x - 1 dönüşümü yapıldığında x→2x \to 2 iken y→1y \to 1 olur. Limit lim⁡y→1f(f(y))\lim_{y \to 1} f(f(y)) biçimine dönüşür. Limitin var olması için sol ve sa�� limitlerin eşit olması gerekir.
Yatay ötelemeyi ve değişken yaklaşımını daha kolay incelemek için.
2
Sol limit değerini hesaplama
y→1−y \to 1^- için f(y)=3−y2→2+f(y) = 3 - y^2 \to 2^+ olur. Buradan sol limit lim⁡u→2+f(u)=2a\lim_{u \to 2^+} f(u) = 2a elde edilir.
Limitin varlığı için sol limit değerini belirlemek gerekir.
3
Sağ limit değerini durum bazlı inceleme
y→1+y \to 1^+ için f(y)=ayf(y) = ay olur. a > 0 ise ay, a değerine sağdan yaklaşır; a < 0 ise ay, a değerine soldan yaklaşır. Bu iki durum ayrı ayrı incelenerek a = 2 ve a = -3 değerleri bulunur. a = 0 durumunda limitin olmadığı gösterilir.
Negatif bir katsayı ile çarpmanın yaklaşım yönünü tersine çevirdiğini göz önünde bulundurarak sağ limiti belirlemek için.
4
Bulunan değerleri toplayıp sonucu bulma
aa sayısının alabileceği değerler 22 ve −3-3 olup, toplamları 2+(−3)=−12 + (-3) = -1 bulunur.
Soru bizden a değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda yaklaşım yönünün belirlenmesi ve limit varlık koşulu
Soru 12Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x+1,x<15,x=14−x,1<x<3x2−5x+7,x≥3f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ 5, & x = 1 \\ 4 - x, & 1 < x < 3 \\ x^2 - 5x + 7, & x \geq 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→2+f(f(x+1))+lim⁡x→1−f(f(x−1))\lim_{x \to 2^+} f(f(x + 1)) + \lim_{x \to 1^-} f(f(x - 1))
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Limitlerin toplamı 5 değerine eşittir.
Doğru cevap olan 5 değeri, limit ifadelerinde yön takibinin doğru yapılmasıyla bulunur. İlk limitte iç limit 1+1^+ olduğundan dış limit 3'tür. İkinci limitte iç limit 1−1^- olduğundan dış limit 2'dir. Bu iki değerin toplamı 3+2=53 + 2 = 5 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İlk limit ifadesinde değişken dönüşümü yapılır.
t=x+1t = x + 1 dönüşümü yapıldığında, x→2+x \to 2^+ iken x>2x > 2 olduğundan t→3+t \to 3^+ olur. Limit lim⁡t→3+f(t)\lim_{t \to 3^+} f(t) haline gelir.
Bileşke fonksiyon limitlerinde i��teki ifadenin yaklaşım noktasını ve yönünü belirlemek gerekir.
2
İçteki limitin değeri ve yaklaşım yönü incelenir.
t→3+t \to 3^+ için t≥3t \ge 3 aralığındaki f(t)=t2−5t+7f(t) = t^2 - 5t + 7 parçası kullanılır. Limit değeri 32−5(3)+7=13^2 - 5(3) + 7 = 1 olur. t>3t > 3 iken (t−2.5)2+0.75>1(t-2.5)^2 + 0.75 > 1 olduğundan limit değeri 1'e sağdan yaklaş��r (1+1^+).
Dıştaki fonksiyonun limit yönünü belirlemek için içteki limitin hangi yönden yaklaştığı tespit edilmelidir.
3
Dıştaki limit hesaplanır.
u→1+u \to 1^+ için 1<u<31 < u < 3 aralığındaki f(u)=4−uf(u) = 4 - u parçası kullanılır. Buradan lim⁡u→1+(4−u)=3\lim_{u \to 1^+} (4 - u) = 3 bulunur. ��lk limitin değeri 3'tür.
İç limit 1+1^+ olduğundan dıştaki fonksiyonda 1 noktasına sağdan yaklaşılır.
4
İkinci limit ifadesinde değişken dönüşümü yapılır.
t=x−1t = x - 1 dönüşümü yapıldığında, x→1−x \to 1^- iken x<1x < 1 olduğundan t→0−t \to 0^- olur. Limit lim⁡t→0−f(t)\lim_{t \to 0^-} f(t) haline gelir.
İkinci bileşke ifadede yatay ötelemenin limit noktasını nasıl etkilediği belirlenir.
5
İkinci limitin iç değeri ve yaklaşım yönü incelenir.
t→0−t \to 0^- için t<1t < 1 aralığındaki f(t)=t+1f(t) = t + 1 parçası kullanılır. Limit değeri 0+1=10 + 1 = 1 olur. t<0t < 0 iken t+1<1t + 1 < 1 olduğundan limit değeri 1'e soldan yaklaşır (1−1^-).
Bileşkenin dış basamağı için yaklaşım yönü belirlenmelidir.
6
İkinci limitin dıştaki aşaması hesaplanır.
u→1−u \to 1^- için u<1u < 1 aralığındaki f(u)=u+1f(u) = u + 1 parçası kullanılır. Buradan lim⁡u→1−(u+1)=2\lim_{u \to 1^-} (u + 1) = 2 bulunur. İkinci limitin değeri 2'dir.
İç limit 1−1^- olduğundan dıştaki fonksiyonda 1 noktasına soldan yaklaşılır.
7
Bulunan limit değerleri toplanır.
3+2=53 + 2 = 5 elde edilir.
İki limit ifadesinin toplamı sorulduğu için sonuçlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların limiti hesaplanırken, içteki fonksiyonun limit değerine yaklaşım yönü (sağdan veya soldan olması) belirlenmeli ve dıştaki limit bu yöne göre çözülmelidir.
Soru 13Soru →
f(x)={3x−k,x<22x+1,x≥2f(x) = \begin{cases} 3x - k, & x < 2 \\ 2x + 1, & x \geq 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için kk gerçek sayısı kaç olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

k gerçek sayısı 1 olmalıdır.
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir. Sol limit lim⁡x→2−f(x)=3(2)−k=6−k\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - k = 6 - k ve sağ limit lim⁡x→2+f(x)=2(2)+1=5\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) + 1 = 5 olarak hesaplanır. Bu iki limit değeri birbirine eşitlendiğinde 6−k=56 - k = 5 denklemi elde edilir ve buradan k=1k = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki sol limitini hesaplayınız.
lim⁡x→2−f(x)=3(2)−k=6−k\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - k = 6 - k
x<2x < 2 bölgesi için tanımlı olan 3x−k3x - k kuralı kullanılır.
2
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki sağ limitini hesaplayınız.
lim⁡x→2+f(x)=2(2)+1=5\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) + 1 = 5
x≥2x \geq 2 bölgesi için tanımlı olan 2x+12x + 1 kuralı kullanılır.
3
Limitin var olması için elde edilen sağ ve sol limit değerlerini birbirine eşitleyerek bilinmeyeni bulunuz.
6−k=5  ⟹  k=16 - k = 5 \implies k = 1
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerin eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik (sınır) noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir.
Soru 14Soru →
f(x)={∣x2−4∣x−2+a,x<23x+b,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + a, & x < 2 \\ 3x + b, & x \geq 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limiti olduğuna göre, a−ba - b farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken x<2x < 2 olduğundan ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) olur ve sadeleştirme sonucunda sol limit −4+a-4 + a olarak bulunur. Sağ limit ise doğrudan 6+b6 + b olarak elde edilir. Bu iki limit değerinin eşitlenmesiyle −4+a=6+b  ⟹  a−b=10-4 + a = 6 + b \implies a - b = 10 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limitin hesaplanması için x→2−x \to 2^- durumunda mutlak değerin içinin işaretini inceleyin.
x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan x2<4x^2 < 4 ve dolayısıyla x2−4<0x^2 - 4 < 0 olur. Bu nedenle mutlak değerli ifade ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) olarak dışarı çıkar.
Kritik noktada mutlak değerli bir ifadenin limitini hesaplamak için yaklaşılan yöne göre ifadenin işareti belirlenmelidir.
2
Sıfır bölü sıfır belirsizliğini gidermek için ifadeyi sadeleştirin ve sol limiti hesaplayın.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x−2)(x+2)x−2+a)=lim⁡x→2−(−(x+2)+a)=−(2+2)+a=−4+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left( \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} + a \right) = \lim_{x \to 2^-} (-(x + 2) + a) = -(2 + 2) + a = -4 + a bulunur.
Pay ve paydadaki ortak (x−2)(x - 2) çarpanları sadeleştirilerek belirsizlik ortadan kaldırılır.
3
Sağ limiti hesaplayın.
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(3x+b)=3(2)+b=6+b\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x + b) = 3(2) + b = 6 + b bulunur.
x→2+x \to 2^+ yaklaşımı x≥2x \ge 2 aralığına denk geldiğinden bu aralıktaki fonksiyon kuralı kullanılır.
4
Limitin var olma koşulunu uygulayarak parametreler arasındaki ilişkiyi kurun.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)  ⟹  −4+a=6+b  ⟹  a−b=10\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies -4 + a = 6 + b \implies a - b = 10 elde edilir.
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitlerinde kritik noktalar incelenirken sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı kontrol edilir. Mutlak değer içeren ifadelerde, limit değerine yaklaşılan yöne göre mutlak değerin içi pozitif veya negatif olarak belirlenir ve gerekirse sadeleştirme yapılarak belirsizlikler giderilir.
Soru 15Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={x2+ax−12∣x−3∣,x<32x+b,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + ax - 12}{|x - 3|}, & x < 3 \\ 2x + b, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limiti vardır.
Buna göre, a−ba - b farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Farkın değeri 14'tür.
Fonksiyonun x=3x=3 noktasında limitinin olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken 0/00/0 belirsizliğinin olması gerektiğinden a=1a=1 bulunur. x<3x < 3 için ∣x−3∣=−(x−3)|x-3| = -(x-3) olarak çıkarılır ve limit −7-7 bulunur. Sağ limit 6+b6+b olduğundan, −7=6+b  ⟹  b=−13-7 = 6+b \implies b = -13 bulunur. Buradan a−b=1−(−13)=14a-b = 1 - (-13) = 14 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limitin varlık koşulunun belirlenmesi
x=3x = 3 noktasındaki limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin birbirine eşit ve birer gerçel sayı olması gerekir.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik noktalarda limitin bulunması için sağ ve sol limitlerin eşit olması şarttır.
2
Sol limitin hesaplanması ve belirsizliğin giderilmesi
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−x2+ax−12∣x−3∣\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 + ax - 12}{|x - 3|} ifadesinde payda sıfır olduğundan limitin gerçel sayı çıkması için pay da sıfır olmalıdır. Buradan 32+3a−12=0  ⟹  3a=3  ⟹  a=13^2 + 3a - 12 = 0 \implies 3a = 3 \implies a = 1 bulunur. Pay x2+x−12=(x−3)(x+4)x^2 + x - 12 = (x-3)(x+4) olarak çarpanlarına ayrılır. x<3x < 3 için ∣x−3∣=−(x−3)|x-3| = -(x-3) olduğundan sol limit lim⁡x→3−(x−3)(x+4)−(x−3)=lim⁡x→3−−(x+4)=−7\lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+4)}{-(x-3)} = \lim_{x \to 3^-} -(x+4) = -7 olur.
Sıfır bölü sıfır belirsizliğinin giderilmesi ve mutlak değerin tanım aralığına göre dışarı çıkarılması gerekmektedir.
3
Sağ limitin hesaplanması ve limitlerin eşitlenmesi
Sağ limit lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(2x+b)=6+b\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x + b) = 6 + b olur. Limitlerin eşitliğinden −7=6+b  ⟹  b=−13-7 = 6 + b \implies b = -13 elde edilir.
Kritik noktadaki limit değerini belirlemek için sağ limit sol limite eşitlenir.
4
İstenen farkın hesaplanması
a−b=1−(−13)=14a - b = 1 - (-13) = 14 bulunur.
Soruda istenen a−ba-b farkı bu şekilde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik durumlarının çözülmesi.
Soru 16Soru →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonu

f(x)={2x+a,x<31,x=3x2−bx+2,x>3f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 3 \\ 1, & x = 3 \\ x^2 - bx + 2, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→2−f(5−x)=5\lim_{x \to 2^-} f(5 - x) = 5
lim⁡x→4−f(x−1)=8\lim_{x \to 4^-} f(x - 1) = 8

eşitlikleri sağlandığına göre, a+ba + b toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Limit yönleri doğru analiz edildiğinde a=2a = 2 ve b=2b = 2 bulunur, bu değerlerin toplamı ise 4'tür.
Limit yönleri doğru analiz edildiğinde; birinci limitte 5−x5 - x ifadesinin 3'e sağdan yaklaştığı görülür ve fonksiyonun x>3x > 3 kuralı kullanılarak b=2b = 2 değeri elde edilir. İkinci limitte x−1x - 1 ifadesinin 3'e soldan yaklaştığı görülür ve fonksiyonun x<3x < 3 kuralı kullanılarak a=2a = 2 değeri elde edilir. Bu iki değerin toplamı 2+2=42 + 2 = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci limit ifadesini analiz etme
x→2−x \to 2^- iken 5−x→3+5 - x \to 3^+ olur.
xx değişkeni 2'ye soldan yaklaşırken x<2x < 2 olur. Buradan −x>−2-x > -2 ve 5−x>35 - x > 3 elde edilir. Dolayısıyla 5−x5 - x ifadesi 3'e sağdan yaklaşır.
2
Birinci limit değerini kullanarak b parametresini bulma
b=2b = 2
lim⁡x→2−f(5−x)=lim⁡t→3+f(t)\lim_{x \to 2^-} f(5 - x) = \lim_{t \to 3^+} f(t) olur. t>3t > 3 için tanımlı olan t2−bt+2t^2 - bt + 2 kuralı kullanılır. lim⁡t→3+(t2−bt+2)=32−3b+2=11−3b\lim_{t \to 3^+} (t^2 - bt + 2) = 3^2 - 3b + 2 = 11 - 3b olur. Bu değer 5'e eşit olduğundan 11−3b=5  ⟹  3b=6  ⟹  b=211 - 3b = 5 \implies 3b = 6 \implies b = 2 bulunur.
3
İkinci limit ifadesini analiz etme
x→4−x \to 4^- iken x−1→3−x - 1 \to 3^- olur.
xx değişkeni 4'e soldan yaklaşırken x<4x < 4 olur. Buradan x−1<3x - 1 < 3 elde edilir. Dolayısıyla x−1x - 1 ifadesi 3'e soldan yaklaşır.
4
İkinci limit değerini kullanarak a parametresini bulma
a=2a = 2
lim⁡x→4−f(x−1)=lim⁡t→3−f(t)\lim_{x \to 4^-} f(x - 1) = \lim_{t \to 3^-} f(t) olur. t<3t < 3 için tanımlı olan 2t+a2t + a kuralı kullanılır. lim⁡t→3−(2t+a)=2(3)+a=6+a\lim_{t \to 3^-} (2t + a) = 2(3) + a = 6 + a olur. Bu değer 8'e eşit olduğundan 6+a=8  ⟹  a=26 + a = 8 \implies a = 2 bulunur.
5
İstenen toplam değerini hesaplama
a+b=4a + b = 4
Bulunan a=2a = 2 ve b=2b = 2 değerleri toplanır: 2+2=42 + 2 = 4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke ve ötelenmiş fonksiyonlarda sağdan ve soldan limit hesaplanırken yaklaşım yönünün belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →
f(x)={∣x2−4∣x−2+a⋅sin⁡(πx4),x<2x2−bx+3,2≤x≤42x−8∣x−4∣+c,x>4f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + a \cdot \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) & , \quad x < 2 \\ x^2 - bx + 3 & , \quad 2 \le x \le 4 \\ \frac{2x - 8}{|x - 4|} + c & , \quad x > 4 \end{cases}

f(x)f(x) fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için limiti olduğuna göre,

lim⁡x→3(2a−c)x2−9(2a−c)x−3\lim_{x \to 3} \frac{(2a-c)x^2 - 9(2a-c)}{x-3}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Limit değeri 30'dur.
Doğru seçenekte verilen 3030 değeri, f(x)f(x) fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda limitinin olması koşulundan elde edilen a+2b=11a+2b=11 ve 4b+c=174b+c=17 denklemlerinin ortak çözümünden 2a−c=52a-c=5 bulunması ve bu değerin sorulan limit ifadesinde yerine yazılarak belirsizliğin giderilmesi ile elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x=2 kritik noktasındaki limit varlığı incelenir.
a+2b=11a + 2b = 11
x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2-4| = -(x^2-4) olur. Buradan sol limit: lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x+2)+asin⁡(πx4))=−4+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left( -(x+2) + a\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) \right) = -4 + a olur. Sağ limit: lim⁡x→2+f(x)=22−2b+3=7−2b\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 - 2b + 3 = 7 - 2b olur. Limit varlığı için −4+a=7−2b  ⟹  a+2b=11-4 + a = 7 - 2b \implies a + 2b = 11 elde edilir.
2
x=4x=4 kritik noktasındaki limit varlığı incelenir.
4b+c=174b + c = 17
Sol limit: lim⁡x→4−f(x)=42−4b+3=19−4b\lim_{x \to 4^-} f(x) = 4^2 - 4b + 3 = 19 - 4b olur. x→4+x \to 4^+ için x>4x > 4 olduğundan ∣x−4∣=x−4|x-4| = x-4 olur. Buradan sağ limit: lim⁡x→4+f(x)=lim⁡x→4+(2(x−4)x−4+c)=2+c\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} \left( \frac{2(x-4)}{x-4} + c \right) = 2 + c olur. Limit varlığı için 19−4b=2+c  ⟹  4b+c=1719 - 4b = 2 + c \implies 4b + c = 17 elde edilir.
3
Elde edilen denklemlerden 2a−c2a - c ifadesinin değeri hesaplanır.
2a−c=52a - c = 5
a+2b=11a + 2b = 11 denklemi 2 ile çarpılarak 2a+4b=222a + 4b = 22 elde edilir. Bu denklemden 4b+c=174b + c = 17 denklemi taraf tarafa çıkarıldığında (2a+4b)−(4b+c)=22−17  ⟹  2a−c=5(2a + 4b) - (4b + c) = 22 - 17 \implies 2a - c = 5 bulunur.
4
Bulunan 2a−c2a - c değeri sorulan limit ifadesinde yerine yazılır ve belirsizlik giderilir.
30
2a−c=52a-c = 5 değeri yerine yazıldığında limit ifadesi lim⁡x→35(x2−9)x−3\lim_{x \to 3} \frac{5(x^2 - 9)}{x-3} şekline dönüşür. Burada 0/00/0 belirsizliği vardır. Pay çarpanlarına ayrılarak belirsizlik giderilir: lim⁡x→35(x−3)(x+3)x−3=lim⁡x→35(x+3)=5(3+3)=30\lim_{x \to 3} \frac{5(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} 5(x+3) = 5(3+3) = 30 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların kritik noktalardaki limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşitliği kontrol edilmeli, limit noktası mutlak değerin içini sıfır yapıyorsa mutlaka işaret analizi yapılarak mutlak değer dışına çıkarma işlemi gerçekleştirilmelidir.
Soru 18Soru →
Gerçel sayılarda tanımlı en geniş kümede
f(x)=x−2x2−2ax+3a+4f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 2ax + 3a + 4}
kuralıyla verilen ff fonksiyonunu süreksiz yapan yalnızca bir tane gerçel sayı değeri bulunmaktad��r.
Buna göre, parametre olan aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Fonksiyonun süreksiz olduğu yalnızca bir noktanın bulunması için paydanın tam kare bir ifade belirtmesi gerekir. Buradan elde edilen geçerli parametre değerlerinin toplamı 3'tür.
Rasyonel bir fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, paydasını sıfır yapan değerlerdir. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması için paydadaki ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan a=4a = 4 veya a=−1a = -1 bulunur. Pay ile paydanın sadeleştiği a=8a = 8 durumunda ise fonksiyon iki noktada süreksiz olacağından bu değer alınmaz. Dolayısıyla uygun değerlerin toplamı 33 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel bir fonksiyonun süreksiz olduğu noktaları belirlemek için paydasını sıfır yapan değerler incelenir.
f(x)f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar, x2−2ax+3a+4=0x^2 - 2ax + 3a + 4 = 0 denkleminin gerçel kökleridir.
Rasyonel fonksiyonlar, paydanın sıfır olduğu (tanımsız olduğu) değerler dışında tüm gerçel sayılarda süreklidir.
2
Denklemin yalnızca bir gerçel kökü olması için disriminantın (Δ\Delta) sıfıra eşit olması koşulu uygulanır.
Δ=(−2a)2−4(1)(3a+4)=0\Delta = (-2a)^2 - 4(1)(3a + 4) = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden bir denklemin tek bir gerçel kökünün olması, o denklemin çakışık iki kökünün olması anlamına gelir ve bu durum Δ=0\Delta = 0 ile sağlanır.
3
Elde edilen disriminant denklemi sadeleştirilerek çözülür.
4a2−12a−16=0  ⟹  a2−3a−4=0  ⟹  (a−4)(a+1)=04a^2 - 12a - 16 = 0 \implies a^2 - 3a - 4 = 0 \implies (a - 4)(a + 1) = 0 buradan a=4a = 4 veya a=−1a = -1 bulunur.
Bu de��erler paydada tam kare bir ifade oluşturarak tek bir süreksizlik noktası (çift katlı kök) üretir.
4
Pay ile paydanın sadeleştiği durum (sadeleştirme yanılgısı) incelenir.
Payın kökü olan x=2x = 2 değeri paydanın da bir kökü kabul edilirse 22−2a(2)+3a+4=0  ⟹  a=82^2 - 2a(2) + 3a + 4 = 0 \implies a = 8 olur. Ancak a=8a = 8 için fonksiyon f(x)=x−2(x−2)(x−14)f(x) = \frac{x-2}{(x-2)(x-14)} haline gelir. Bu fonksiyon hem x=2x=2 hem de x=14x=14 değerlerinde tanımsızdır. Dolayısıyla süreksiz olduğu nokta sayısı 2 olur. Bu yüzden a=8a = 8 değeri çözüme dahil edilemez.
Bir rasyonel fonksiyonda pay ve paydada ortak çarpan olması ve bunların sadeleşmesi, fonksiyonun o noktada tanımlı olmasını sağlamaz; o nokta hala bir süreksizlik noktasıdır.
5
Geçerli olan aa değerleri toplanır.
4+(−1)=34 + (-1) = 3 elde edilir.
aa parametresinin alabileceği uygun tüm gerçel sayı değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonlarda süreksizlik noktaları ve kaldırılabilir süreksizlik kavramı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x) = \\begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\\\ 0, & x = 1 \\\\ x + 2, & 1 < x < 2 \\\\ 1, & x = 2 \\\\ 6 - x^2, & x > 2 \\end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→1+f(f(x+1))\lim_{x \to 1^+} f(f(x + 1))
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Bileşke fonksiyonda limit hesaplanırken adım adım yaklaşım yönleri takip edilir. x→1+x \to 1^+ için x+1→2+x+1 \to 2^+ olur. x>2x > 2 bölgesinde f(x)=6−x2f(x) = 6 - x^2 olduğundan, 22 noktasına sağdan yaklaşırken f(x)f(x) değerleri 22 değerine küçük değerlerle yaklaşır (f(x)→2−f(x) \to 2^-). Dıştaki fonksiyonun limiti için 22 noktasına soldan yaklaşılır. x<2x < 2 bölgesinde fonksiyon f(x)=x+2f(x) = x + 2 olduğundan limit 2+2=42 + 2 = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki ifadenin limit yaklaşımını belirleme
x→1+x \to 1^+ iken u=x+1→2+u = x + 1 \to 2^+ olur.
xx, 11 değerine sağdan (11'den büyük değerlerle) yaklaşırken, x+1x+1 ifadesi de 22 değerine sağdan (22'den büyük değerlerle) yaklaşır.
2
İç fonksiyonun limit değerini ve yaklaşım yönünü bulma
u→2+u \to 2^+ iken f(u)→2−f(u) \to 2^- olur.
u>2u > 2 aralığında fonksiyon f(u)=6−u2f(u) = 6 - u^2 olarak tanımlıdır. uu, 22'ye sağdan yaklaşırken u2u^2 ifadesi 44'e sağdan (44'ten büyük değerlerle) yaklaşır. Dolayısıyla 6−u26 - u^2 ifadesi 22 değerine soldan (22'ten küçük değerlerle) yaklaşır.
3
Dış fonksiyonun limitini hesaplama
lim⁡t→2−f(t)=4\lim_{t \to 2^-} f(t) = 4 olur.
İkinci adımda elde edilen f(u)→2−f(u) \to 2^- yaklaşımı nedeniyle dıştaki limit lim⁡t→2−f(t)\lim_{t \to 2^-} f(t) biçimine dönüşür. t<2t < 2 aralığında fonksiyon f(t)=t+2f(t) = t + 2 olarak tanımlı olduğundan, bu aralıktaki limit değeri 2+2=42 + 2 = 4 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda limit hesaplanırken, içteki fonksiyonun limit değerinin yanı sıra bu değere hangi yönden (sağdan veya soldan) yaklaşıldığı belirlenmeli ve dıştaki limit bu yaklaşım yönüne göre hesaplanmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →
lim⁡x→3−x2−9∣x−3∣\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −6-6

Cevap

−6-6
Limit değerine x=3x = 3 noktasına soldan yaklaşıldığında, xx değerleri 3'ten küçük olur. Bu nedenle x−3<0x - 3 < 0 olur ve ∣x−3∣|x - 3| ifadesi dışarıya −(x−3)-(x - 3) olarak çıkar. Pay kısmındaki x2−9x^2 - 9 ifadesi (x−3)(x+3)(x - 3)(x + 3) şeklinde çarpanlarına ayrılıp paydadaki −(x−3)-(x - 3) ile sadeleştirildiğinde geriye −(x+3)-(x + 3) kalır. Burada xx yerine 3 yazıldığında limitin değeri −6-6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x=3x = 3 değerine soldan yaklaşıldığı için (x<3x < 3) mutlak değerin içindeki x−3x - 3 ifadesinin işaretini belirleyin.
x<3x < 3 olduğundan x−3<0x - 3 < 0 olur. Bu durumda ∣x−3∣=−(x−3)|x - 3| = -(x - 3) olarak dışarı çıkar.
Mutlak değerli ifadenin limitini hesaplamak için öncelikle ifadenin işaretini belirleyip mutlak değer dışına çıkarmamız gerekir.
2
Pay kısmındaki x2−9x^2 - 9 ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın ve limit ifadesini yeniden yazın.
x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) olduğundan limit ifadesi lim⁡x→3−(x−3)(x+3)−(x−3)\lim_{x \to 3^-} \frac{(x - 3)(x + 3)}{-(x - 3)} haline gelir.
0/00/0 belirsizliğini gidermek i��in pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek amacıyla çarpanlara ayırma yapılır.
3
Pay ve paydadaki ortak (x−3)(x - 3) çarpanlarını sadeleştirin ve kalan ifadede xx yerine 33 yazarak limiti hesaplayın.
lim⁡x→3−x+3−1=lim⁡x→3−−(x+3)=−(3+3)=−6\lim_{x \to 3^-} \frac{x + 3}{-1} = \lim_{x \to 3^-} -(x + 3) = -(3 + 3) = -6 bulunur.
Sadeleştirme işlemiyle belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren fonksiyonların belirli bir noktadaki limitini hesaplarken, limit noktasına yaklaşılan yöne göre mutlak değerin içinin işareti belirlenir ve mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılır. Ardından belirsizlik varsa sadeleştirme yapılarak limit hesaplanır.
Sayfa 1 / 7Sonraki
Limit ve Süreklilik Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin