x + y = \frac{\pi}{4} ve \tan x, \tan y tanımlı olduğuna göre, (1 + \tan x) \cdot (1 + \ta… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x + y = \frac{\pi}{4}

\tan x

\tan y

tanımlı olduğuna göre,

(1 + \tan x) \cdot (1 + \tan y)

çarpımının değeri kaçtır?

Cevap: 2

İfadenin değeri 2'dir.

Verilen

x+y = \frac{\pi}{4}

eşitliğinden faydalanarak

\tan(x+y) = 1

olduğu görülür. Tanjant toplam formülü olan

\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1

eşitliğinden

\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1

bağıntısı elde edilir. Sorulan çarpım ifadesi dağıtıldığında

1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y

elde edilir ve elde edilen bağıntı burada yerine yazıldığında sonuç 2 bulunur.

Tanjant toplam formülünü yazma

\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}

Açıların toplamı ile tanjant değerleri arasındaki bağlantıyı kurmak amacıyla formül yazılır.

x+y = \frac{\pi}{4}

bilgisini kullanma ve içler dışlar çarpımı yapma

\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1 \implies \tan x + \tan y = 1 - \tan x \tan y \implies \tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1

Tanjant terimlerinin toplamı ve çarpımı arasındaki cebirsel ilişkiyi elde etmek için.

İstenen çarpım ifadesini parantezleri açarak genişletme

(1 + \tan x)(1 + \tan y) = 1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y

Elde edilen cebirsel ilişkiyi sorulan ifade içerisinde yerine yazabilmek için.

Elde edilen bağıntıyı yerine yazarak sonucu bulma

1 + (\tan x + \tan y + \tan x \tan y) = 1 + 1 = 2

\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1

eşitliği yerine koyularak sayısal değere ulaşılır.

İki açının toplamının tanjantı formülü:

\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}

Soru