\left(x - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^5 ifadesinin x'in azalan kuvvetlerine göre açılımındak… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\left(x - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^5

ifadesinin $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki $x^2$ 'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevap: 40

İfadenin açılımındaki

x^2

'li terimin katsayısı 40'tır.

İfadenin genel terimi

T_{r+1} = \binom{5}{r} x^{5-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r = \binom{5}{r} (-2)^r x^{5 - \frac{3r}{2}}

şeklindedir.

x^2

'li terim için

5 - \frac{3r}{2} = 2

denkleminden

r=2

bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine yazıldığında katsayı

\binom{5}{2} (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40

elde edilir.

Genel terim formülü oluşturulur.

T_{r+1} = \binom{5}{r} \cdot x^{5-r} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r

Binom açılımındaki terimlerin katsayı ve derecelerini belirlemek için genel formül kullanılır.

x

değişkeninin kuvvetleri sadeleştirilir.

T_{r+1} = \binom{5}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{5 - \frac{3r}{2}}

\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}

olduğundan, tabanları aynı olan üslü ifadelerin üsleri toplanır.

x

'in kuvveti aranan terimin kuvveti olan 2'ye eşitlenerek

r

bulunur.

5 - \frac{3r}{2} = 2 \implies 3 = \frac{3r}{2} \implies r = 2

x^2

'li terimi elde etmek için genel terimdeki

x

'in üssü 2 olmalıdır.

r = 2

değeri katsayı formülünde yerine yazılır.

Katsayı =

\binom{5}{2} \cdot (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40

Genel terimdeki katsayı kısmı olan

\binom{5}{r} \cdot (-2)^r

ifadesinde

r

yerine 2 yazılıp hesaplama tamamlanır.

Binom açılımında belirli bir kuvvete sahip terimin katsayısını genel terim formülü kullanarak hesaplama.

Soru