Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBinom Açılımı
aa bir gerçel sayı ve nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(x2+ax)n\left(x^2 + \frac{a}{x}\right)^n
ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında:
- Sabit terim bulunmaktadır.
- x6x^6 lı terim, bu açılımdaki baştan 3. terimdir.
- x6x^6 lı terimin katsayısının, x3x^3 lü terimin katsayısına oranı 38\frac{3}{8}'dir.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    60
  3. C
    120
  4. 240Cevap
  5. E
    480

Cevap

Sabit terim 240'tır.
Baştan 3. terimin r=2r=2 değerine karşılık geldiği bilinerek 2n−6=6  ⟹  n=62n-6=6 \implies n=6 bulunur. Ardından x6x^6 ve x3x^3 terimlerinin katsayıları sırasıyla 15a215a^2 ve 20a320a^3 olarak yazılır. Bu katsayıların oranı 34a=38\frac{3}{4a} = \frac{3}{8} eşitliğinden a=2a=2 bulunur. Son olarak sabit terimi veren r=4r=4 değeri için (64)a4=15⋅16=240\binom{6}{4} a^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımdaki genel terim formülü yazılır ve baştan 3. terim kullanılarak n değeri bulunur.
Genel terim: Tr+1=(nr)(x2)n−r(ax)r=(nr)arx2n−3rT_{r+1} = \binom{n}{r} (x^2)^{n-r} \left(\frac{a}{x}\right)^r = \binom{n}{r} a^r x^{2n - 3r}. Baştan 3. terim için r=2r = 2 olur. Bu terim x6x^6 lı terim olduğuna göre, 2n−3(2)=6  ⟹  2n=12  ⟹  n=62n - 3(2) = 6 \implies 2n = 12 \implies n = 6 elde edilir.
n parametresini belirlemek, açılımın derecesini sabitlemek için gereklidir.
2
x6x^6 ve x3x^3 lü terimlerin katsayıları n = 6 değeri kullanılarak belirlenir.
x6x^6 lı terim için r=2r = 2 olup katsayısı (62)a2=15a2\binom{6}{2} a^2 = 15a^2 olur. x3x^3 lü terim için 12−3r=3  ⟹  r=312 - 3r = 3 \implies r = 3 olup katsayısı (63)a3=20a3\binom{6}{3} a^3 = 20a^3 olur.
Verilen katsayılar oranını kullanarak a değerini bulmak için terim katsayılarının açık ifadeleri gereklidir.
3
Katsayılar oranı eşitlenerek a değeri çözülür.
15a220a3=34a\frac{15a^2}{20a^3} = \frac{3}{4a} oranı 38\frac{3}{8} değerine eşitlenirse, 34a=38  ⟹  4a=8  ⟹  a=2\frac{3}{4a} = \frac{3}{8} \implies 4a = 8 \implies a = 2 bulunur.
Bilinmeyen a sabit sayısını bulmak için oran eşitliği çözülmelidir.
4
Sabit terim hesaplanır.
Sabit terim x0x^0 lı terimdir. 12−3r=0  ⟹  3r=12  ⟹  r=412 - 3r = 0 \implies 3r = 12 \implies r = 4 olur. Sabit terim: (64)a4=15⋅24=15⋅16=240\binom{6}{4} a^4 = 15 \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240 olarak hesaplanır.
Soruda istenen sabit terim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü kullanılarak belirli dereceli terimlerin katsayılarının ve sabit terimin hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru