Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBinom Açılımı

mm sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak ��zere,

(x2−mx)6\left(x^2 - \frac{m}{x}\right)^6

ifadesinin açılımındaki x6x^6’lı terimin katsayısı, x3x^3’lü terimin katsayısının −3-3 katına eşittir.

Buna göre, mm kaçtır?

  1. A
    94\frac{9}{4}
  2. B
    13\frac{1}{3}
  3. 14\frac{1}{4}Cevap
  4. D
    −14-\frac{1}{4}
  5. E
    29\frac{2}{9}

Cevap

Aranan gerçel sayı değeri bir bölü dört olarak bulunur.
Doğru seçenekte verilen değer, binom açılımının genel terim formülü kullanılarak x6x^6 ve x3x^3 terimlerinin katsayıları oranlandığında elde edilen değerdir. Genel terim formülü (6r)(x2)6−r(−mx)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{m}{x}\right)^r şeklindedir. Burada x6x^6 terimi için r=2r=2 olup katsayı 15m215m^2 bulunur. x3x^3 terimi için r=3r=3 olup katsayı −20m3-20m^3 bulunur. Soruda verilen katsayı ilişkisi kurulduğunda 15m2=−3⋅(−20m3)15m^2 = -3 \cdot (-20m^3) denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde sıfırdan farklı mm değeri bir bölü dört olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülünü yazmak.
Tr+1=(6r)(x2)6−r(−mx)rT_{r+1} = \binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{m}{x}\right)^r
İstenen terimlerin katsayılarını belirlemek için genel terim ifadesini oluşturmamız gerekir.
2
Genel terimdeki xx değişkeninin üssünü düzenlemek.
Tr+1=(6r)(−m)rx12−3rT_{r+1} = \binom{6}{r} (-m)^r x^{12-3r}
Terimlerin derecelerini rr cinsinden bulabilmek için tabanları aynı olan üslü ifadeleri birleştiririz.
3
x6x^6 ve x3x^3 terimlerini elde etmek için rr değerlerini bulmak.
x6x^6 için 12−3r=6  ⟹  r=212-3r=6 \implies r=2 ve x3x^3 için 12−3r=3  ⟹  r=312-3r=3 \implies r=3 bulunur.
Hangi terimlerin aradığımız kuvvetleri verdiğini saptamak amacıyla üsleri sırasıyla 6 ve 3'e eşitleriz.
4
Bulunan rr değerlerini genel terimde yerine yazarak katsayıları belirlemek.
x6x^6'lı terimin katsayısı (62)(−m)2=15m2\binom{6}{2} (-m)^2 = 15m^2 ve x3x^3'lü terimin katsayısı (63)(−m)3=−20m3\binom{6}{3} (-m)^3 = -20m^3 olarak elde edilir.
İlişkilendireceğimiz katsayı değerlerini mm cinsinden açıkça ifade etmek için kombinasyon ve üs işlemlerini yaparız.
5
Verilen katsayı ilişkisini kullanarak denklem kurmak ve mm değerini çözmek.
15m2=−3⋅(−20m3)  ⟹  15m2=60m3  ⟹  1=4m  ⟹  m=1415m^2 = -3 \cdot (-20m^3) \implies 15m^2 = 60m^3 \implies 1 = 4m \implies m = \frac{1}{4} (m≠0m \neq 0 olduğu için m2m^2 ile sadeleştirme yapılabilir).
Soruda belirtilen oran bağıntısını uygulayarak bilinmeyen mm parametresini buluruz.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı bulma
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru