Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=12\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} = \frac{1}{2}
olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?
  1. A
    255\frac{2\sqrt{5}}{5}
  2. B
    −55-\frac{\sqrt{5}}{5}
  3. −255-\frac{2\sqrt{5}}{5}Cevap
  4. D
    55\frac{\sqrt{5}}{5}
  5. E
    −45-\frac{4}{5}

Cevap

Kosinüs değerinin eksi iki kök beş bölü beş olması
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde tanjant değeri bir bölü iki olarak bulunur. Açının üçüncü bölgede yer aldığı belirtildiğinden, bu bölgedeki kosinüs değerinin işareti negatif olmalıdır. Karşı kenarı bir, komşu kenarı iki olan dik üçgende hipotenüs kök beş birimdir. Kosinüs tanımı gereği komşu bölü hipotenüsten değer eksi iki kök beş bölü beş olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım a��ı formüllerini kullanarak pay ve paydadaki sabit sayıları sadeleştirelim.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ve cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formüllerini kullanalım. Ayrıca sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yazalım.
Pay kısmı: 1−(1−2sin⁡2x)+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x1 - (1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\sin x \cos x
Payda kısmı: 1+(2cos⁡2x−1)+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x1 + (2\cos^2 x - 1) + 2\sin x \cos x = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x halini alır.
İfadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmeye uygun hale getirmek.
2
Elde edilen kesirli ifadeyi ortak paranteze alıp sadeleştirelim ve verilen değere eşitleyelim.
2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
Buradan, tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} elde edilir.
İfadenin en sade halini bularak trigonometrik oranlardan birine ulaşmak.
3
Açının bölgesini dikkate alarak dik üçgen yardımıyla kosinüs değerini bulalım.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan açı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
Karşı kenarı 1, komşu kenarı 2 olan bir dik üçgende hipotenüs 12+22=5\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} olur.
Bu durumda, cos⁡x=−Koms¸uHipotenu¨s=−25=−255\cos x = -\frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} bulunur.
Tanjant değerinden yararlanıp uygun bölge işareti ile kosinüs oranını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru