x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, \cos^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \s… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{3\sqrt{2}}{10}

olduğuna göre,

25 \cdot \sin(4x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 24

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen

\cos(2x) = \frac{3}{5}

\sin(2x) = \frac{4}{5}

değerleri kullanılarak, yarım açı formülü yardımıyla

25 \cdot \sin(4x)

ifadesinin değeri 24 olarak bulunur.

Verilen ifade iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde

\cos(2x) \cdot \cos(\pi/4) = 3\sqrt{2}/10

denklemi elde edilir. Buradan

\cos(2x) = 3/5

bulunur. Tanımlanan bölgede

\sin(2x) = 4/5

olup, yarım açı formülüyle

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 24/25

bulunur. Sonuç olarak

25 \cdot \sin(4x) = 24

elde edilir.

Verilen ifadeyi iki kare farkı ve toplam-fark özdeşlikleri kullanarak sadeleştirmek

\cos(2x) = \frac{3}{5}

İfadedeki terimlerin açılımını yaparak

\cos(2x)

değerine ulaşmak

Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak

\sin(2x)

değerini hesaplamak

\sin(2x) = \frac{4}{5}

Yarım açı formülünde kullanılacak olan sinüs değerini elde etmek

Sinüs yarım açı formülünü uygulayarak

\sin(4x)

değerini hesaplamak

\sin(4x) = \frac{24}{25}

İstenen ifadenin çarpanı olan

\sin(4x)

değerini bulmak

25 \cdot \sin(4x)

işlemini gerçekleştirmek

Soruda sorulan nihai sayısal değere ulaşmak

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerinin trigonometrik sadeleştirmelerde ve değer hesaplamalarında uygulanması

İkinci bir yol olarak,

\cos\left(\frac{\pi}{8} + x\right)

\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right)

ifadeleri toplam-fark formülleriyle açılarak kareleri alınabilir. Kareler alındığında çapraz çarpım terimleri birbirini götürür ve geriye

(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}) = \cos(2x)\cos\frac{\pi}{4}

kalır. Buradan da aynı şekilde çözüme ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru