Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=−34\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} = -\frac{3}{4}
olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    −127-\frac{12}{7}
  2. B
    −2425-\frac{24}{25}
  3. −247-\frac{24}{7}Cevap
  4. D
    247\frac{24}{7}
  5. E
    127\frac{12}{7}

Cevap

−247-\frac{24}{7}
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirildiğinde tan⁡x=−34\tan x = -\frac{3}{4} elde edilir. Tanjant iki kat açı formülü olan tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} ifadesinde bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç −247-\frac{24}{7} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadedeki yarım açı formüllerini uygulayarak sadeleştirme yapınız.
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x ve 1+cos⁡(2x)=2cos⁡2x1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x özdeşliklerini kullanalım. Ayrıca sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğunu biliyoruz. Bu durumda pay: 2sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x) olur. Payda ise: 2cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)2\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x) olur.
İfadeyi daha sade ve çözülebilir bir biçime getirmek için yarım açı formülleriyle terimleri ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirerek tan⁡x\tan x değerini bulunuz.
İfade 2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x olarak sadeleşir. Bize bu ifadenin −34-\frac{3}{4} olduğu verildiğinden tan⁡x=−34\tan x = -\frac{3}{4} elde edilir.
Pay ve paydadaki (sin⁡x+cos⁡x)(\sin x + \cos x) ve 22 terimleri sadeleştiğinde geriye kalan oran tanjant fonksiyonunun tanımını verir.
3
Tanjant fonksiyonunun yarım açı formülünü kullanarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplayınız.
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=−34\tan x = -\frac{3}{4} değerini yerine yazalım: tan⁡(2x)=2⋅(−34)1−(−34)2=−321−916=−32716=−32⋅167=−247\tan(2x) = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{24}{7} bulunur.
tan⁡x\tan x değeri bilindiğinde, iki kat açı formülüyle doğrudan tan⁡(2x)\tan(2x) değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kosinüs fonksiyonlarının yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve iki kat açının trigonometrik değerlerinin hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru