x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere, \tan x + \cot x = \frac{5}{2} olduğuna… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\tan x + \cot x = \frac{5}{2}

olduğuna göre,

\cos(2x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Üç bölü beş

Doğru cevap olan üç bölü beş değeri, verilen aralıkta

\tan x = 1/2

değerinin seçilmesi ve bu değerin kosinüs yarım açı formülünde yerine yazılmasıyla elde edilir.

2x

açısı birinci bölgede yer aldığından değer pozitif çıkmaktadır.

Tanjant ve kotanjant toplamından faydalanarak tanjant değerini bulma.

\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2\tan^2 x - 5\tan x + 2 = 0 \Rightarrow (2\tan x - 1)(\tan x - 2) = 0

denkleminden

\tan x = \frac{1}{2}

veya

\tan x = 2

bulunur.

Verilen denklemde kotanjant yerine tanjant cinsinden ifadesi yazılarak tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde edilir.

Açının aralığını kullanarak doğru tanjant kökünü seçme.

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığında

\tan x

değeri

0

ile

1

arasında olmalıdır. Bu nedenle

\tan x = \frac{1}{2}

seçilir.

Verilen açı aralığı üçüncü bölgenin ilk yarısı olup, bu bölgede tanjant değeri 1'den küçüktür.

Kosinüs yarım açı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama.

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5}

bulunur.

Tanjantı bilinen bir açının iki katının kosinüs değerini doğrudan hesaplamak için kosinüs yarım açı formülü uygulanır.

Tanjant değerine bağlı olarak kosinüs yarım açı formülünün uygulanması ve açı aralığına göre işaret analizi.

Soru