Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)sin⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)=4\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} + \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = 4
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    −45-\frac{4}{5}
  2. −35-\frac{3}{5}Cevap
  3. C
    35\frac{3}{5}
  4. D
    45\frac{4}{5}
  5. E
    −1517-\frac{15}{17}

Cevap

Eksi üç bölü beş
Verilen denklem yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde iki tanjant x eşittir dört, buradan da tanjant x eşittir iki elde edilir. Tanjant değeri iki olan bir açı için kosinüs iki x değeri yarım açı formülüyle hesaplandığında eksi üç bölü beş bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formüllerini kullanarak rasyonel ifadelerin pay ve payda kısımlarını sadeleştirmek
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x, 1+cos⁡(2x)=2cos⁡2x1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yazarak denklem 2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x+2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=4\frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = 4 hâline getirilir.
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon türünden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
2
Elde edilen rasyonel ifadeleri sadeleştirip tan⁡x\tan x değerini bulmak
sin⁡xcos⁡x+sin⁡xcos⁡x=4⇒2tan⁡x=4⇒tan⁡x=2\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 4 \Rightarrow 2\tan x = 4 \Rightarrow \tan x = 2 olarak bulunur.
Açının trigonometrik oranlarından birini belirleyerek diğer yarım açı değerlerine geçiş yapabilmek.
3
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplamak
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−221+22=−35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = -\frac{3}{5} bulunur.
Tanjant değeri bilinen bir açının iki katının kosinüs değerini doğrudan hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

Tanjant x değeri iki bulunduktan sonra, dik kenarları iki ve bir olan bir dik üçgen çizilerek hipotenüs kök beş bulunur. Açının üçüncü bölgede olduğu göz önüne alınarak sinüs x eşittir eksi iki bölü kök beş, kosinüs x eşittir eksi bir bölü kök beş olarak belirlenir. Kosinüs iki x eşittir iki kosinüs kare x eksi bir formülünden de sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru