Examkin

Soru

Zorluk: ZorYarım Açı Formülleri
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=163\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{16}{3}
olduğuna göre, tan⁡2x−cos⁡(2x)\tan^2 x - \cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. 72\frac{7}{2}Cevap
  2. B
    52\frac{5}{2}
  3. C
    56\frac{5}{6}
  4. D
    54\frac{5}{4}
  5. E
    −16-\frac{1}{6}

Cevap

Yedi bölü iki
Verilen rasyonel ifade payda eşitlenip yarım açı formülleriyle düzenlendiğinde sinüs karesinin değeri elde edilir. Açının sınırları dikkate alınarak kosinüs ve tanjant değerleri doğru işaretlerle bulunur ve ifadede yerine yazılarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki rasyonel ifade payda eşitleme yapılarak sadeleştirilir ve yarım açı formülü uygulanır.
1sin⁡2x+1cos⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2xcos⁡2x=1sin⁡2xcos⁡2x=4sin⁡2(2x)\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{4}{\sin^2(2x)} ifadesi elde edilir.
İfadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarak çözümü kolaylaştırmak.
2
Elde edilen ifade verilen değere eşitlenerek sinüs ve kosinüs değerleri belirlenir.
4sin⁡2(2x)=163  ⟹  sin⁡2(2x)=34\frac{4}{\sin^2(2x)} = \frac{16}{3} \implies \sin^2(2x) = \frac{3}{4} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğundan 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olur (3. bölge). 3. bölgede sinüs ve kosinüs negatif olduğundan sin⁡(2x)=−32\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(2x)=−12\cos(2x) = -\frac{1}{2} bulunur.
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak trigonometrik değerlerin işaretlerini doğru tespit etmek.
3
Tanjant yarım açı formülü kullanılarak tanjant değeri hesaplanır.
tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \sqrt{3} olur. Yarım açı formülünden 2tan⁡x1−tan⁡2x=3\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \sqrt{3} elde edilir. Buradan 3tan⁡2x+2tan⁡x−3=0  ⟹  (3tan⁡x−1)(tan⁡x+3)=0\sqrt{3}\tan^2 x + 2\tan x - \sqrt{3} = 0 \implies (\sqrt{3}\tan x - 1)(\tan x + \sqrt{3}) = 0 denkleminden tan⁡x=−3\tan x = -\sqrt{3} seçilir.
Açının 2. bölgede olması nedeniyle tanjant değerinin negatif olması gerekir.
4
Bulunan değerler soruda istenen ifadede yerine yazılır.
tan⁡2x−cos⁡(2x)=(−3)2−(−12)=3+12=72\tan^2 x - \cos(2x) = (-\sqrt{3})^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} olarak bulunur.
Nihai sonucu hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri ve Bölgelere Göre Trigonometrik Değerlerin İşaretleri

Alternatif Yöntem

Tanjant yarım açı formülünü cebirsel olarak çözmek yerine, dik üçgen çizilerek 2x açısı yerleştirilir ve hipotenüs kadar uzatılan kenarla x açısına geometrik geçiş yapılarak tanjant değeri bulunabilir. Bölge işareti en son elle eklenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru