Examkin

Soru

Zorluk: OrtaToplam ve Fark Formülleri

Bir ABCDABCD dikdörtgeninde, [AB][AB] kenarı üzerinde bir EE noktası, [BC][BC] kenarı üzerinde bir FF noktası işaretleniyor.

∣AE∣=2 birim|AE| = 2\text{ birim}, ∣EB∣=3 birim|EB| = 3\text{ birim}, ∣BF∣=1 birim|BF| = 1\text{ birim} ve ∣FC∣=3 birim|FC| = 3\text{ birim} olduğuna göre, tan⁡(m(EDF^))\tan(m(\widehat{EDF})) değeri kaçtır?

  1. A
    117\frac{11}{7}
  2. B
    1311\frac{13}{11}
  3. 711\frac{7}{11}Cevap
  4. D
    −711-\frac{7}{11}
  5. E
    1113\frac{11}{13}

Cevap

7/11 değeri doğrudur.
Doğru cevap olan 7/11 değeri, D köşesindeki dik açıdan yararlanılarak m(EDF^)=90∘−(a+b)m(\widehat{EDF}) = 90^\circ - (a+b) bağıntısının kurulması, dik üçgenlerden tan⁡a=1/2\tan a = 1/2 ve tan⁡b=3/5\tan b = 3/5 oranlarının elde edilmesi, tanjant toplam formülüyle tan⁡(a+b)=11/7\tan(a+b) = 11/7 bulunması ve tümler açılarda tan⁡(90∘−θ)=cot⁡θ\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta eşitliği kullanılarak kotanjant değerine geçilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin tüm kenar uzunluklarını belirleyelim.
∣AD∣=∣BC∣=∣BF∣+∣FC∣=1+3=4 birim|AD| = |BC| = |BF| + |FC| = 1 + 3 = 4\text{ birim} ve ∣CD∣=∣AB∣=∣AE∣+∣EB∣=2+3=5 birim|CD| = |AB| = |AE| + |EB| = 2 + 3 = 5\text{ birim} olur.
Dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
2
m(ADE^)=am(\widehat{ADE}) = a ve m(CDF^)=bm(\widehat{CDF}) = b açılarını tanımlayıp hedef açıyla ilişkilendirelim.
m(EDF^)=xm(\widehat{EDF}) = x olsun. Dikdörtgenin DD köşesi dik açı (90∘90^\circ) olduğundan a+x+b=90∘⇒x=90∘−(a+b)a + x + b = 90^\circ \Rightarrow x = 90^\circ - (a+b) elde edilir.
D köşesindeki açıların toplamı dik açıyı oluşturur.
3
DAEDAE ve DCFDCF dik ��çgenlerini kullanarak aa ve bb açılarının tanjant değerlerini bulalım.
tan⁡a=∣AE∣∣AD∣=24=12\tan a = \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ve tan⁡b=∣FC∣∣CD∣=35\tan b = \frac{|FC|}{|CD|} = \frac{3}{5} bulunur.
Dik üçgende tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
4
Tanjant toplam formülünü kullanarak tan⁡(a+b)\tan(a+b) değerini hesaplayalım.
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b=12+351−12⋅35=1110710=117\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{11}{10}}{\frac{7}{10}} = \frac{11}{7}
Toplam formülü yardımıyla iki açının toplamının tanjantını hesaplamak için.
5
İndirgeme formülü yardımıyla tan⁡x\tan x değerini bulalım.
tan⁡x=tan⁡(90∘−(a+b))=cot⁡(a+b)=1tan⁡(a+b)=711\tan x = \tan(90^\circ - (a+b)) = \cot(a+b) = \frac{1}{\tan(a+b)} = \frac{7}{11}
Birbirini 90∘90^\circ'ye tamamlayan açılardan birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjant formülü ve tümler açılarda trigonometrik fonksiyonların indirgenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru