Examkin

Soru

Zorluk: ZorBinom Açılımı
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(x+1x3)n\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^n
ifadesinin açılımındaki rasyonel terimlerin (yani xx değişkeninin üssü tam sayı olan terimlerin) sayısı 4'tür.
Buna göre, nn sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevap: 43

Cevap

n sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı 43'tür.
Genel terim formülü ile xx'in üssü 3n−5r6\frac{3n-5r}{6} olarak bulunur. Bu üssün tam sayı olması için 3n−5r≡0(mod6)3n - 5r \equiv 0 \pmod 6 olmalıdır. Buradan r≡3n(mod6)r \equiv 3n \pmod 6 elde edilir. nn çift ise rr değerleri 0,6,12,180, 6, 12, 18 olup en küçük nn değeri 18'dir. nn tek ise rr değerleri 3,9,15,213, 9, 15, 21 olup en büyük nn değeri 25'tir. Bu iki değerin toplamı 18+25=4318 + 25 = 43 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim form��lünü yazıp xx değişkeninin üssünü bulunuz.
Genel terim Tr+1=(nr)(x1/2)n−r(x−1/3)r=(nr)x3n−5r6T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{1/2})^{n-r} (x^{-1/3})^r = \binom{n}{r} x^{\frac{3n-5r}{6}} şeklindedir.
Binom açılımındaki terimlerin kuvvetlerini bulmak için genel terim formülü kullanılır.
2
xx değişkeninin üssünün tam sayı olma koşulunu belirleyiniz.
3n−5r6\frac{3n-5r}{6} ifadesinin tam sayı olması için 3n−5r≡0(mod6)3n - 5r \equiv 0 \pmod 6 olmalıdır. Buradan r≡3n(mod6)r \equiv 3n \pmod 6 elde edilir.
Terimin rasyonel olması için xx'in kuvvetinin bir tam sayı olması gerekir.
3
nn sayısının tek ve çift olma durumlarına göre rr'nin alabileceği değerleri analiz ediniz.
Eğer nn çift ise r≡0(mod6)r \equiv 0 \pmod 6 olur. 4 terim için r∈{0,6,12,18}r \in \{0, 6, 12, 18\} olmalıdır, buradan 18≤n<2418 \le n < 24 elde edilir. Çift nn değerleri {18,20,22}\{18, 20, 22\} olur. Eğer nn tek ise r≡3(mod6)r \equiv 3 \pmod 6 olur. 4 terim için r∈{3,9,15,21}r \in \{3, 9, 15, 21\} olmalıdır, buradan 21≤n<2721 \le n < 27 elde edilir. Tek nn değerleri {21,23,25}\{21, 23, 25\} olur.
Terim sayısının tam olarak 4 olması koşulunu sağlayan sınırları tespit etmek için modüler analiz yapılır.
4
nn değerlerinin en büyüğünü ve en küçüğünü tespit edip toplayınız.
nn'nin alabileceği en küçük değer 18, en büyük değer ise 25'tir. Toplamları 18+25=4318 + 25 = 43 olur.
İstenen sonucu bulmak için belirlenen değer kümesindeki uç elemanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim bulma ve terimlerin rasyonellik şartı
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru