\log_3(x - 1) + \log_3(x - 3) = \log_3(x + 17) denklemini sağlayan x gerçel sayılarının to… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_3(x - 1) + \log_3(x - 3) = \log_3(x + 17)

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 7

Denklemi sağlayan tek gerçel kök

7

olduğundan, kökler toplam��

7

dir.

Denklemin tek gerçel kökü olan

7

değeri tanım aralığı olan

x > 3

koşulunu sağladığı için doğru cevaptır.

Tanım kümesi kısıtlamalarını belirleme

x > 3

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tüm logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.

Logaritma toplama özelliğini kullanarak sol tarafı tek logaritma altında birleştirme

\log_3(x^2 - 4x + 3) = \log_3(x + 17)

Aynı tabandaki logaritmik ifadelerin toplamı, argümanların çarpımına eşittir.

Tabanlar eşit olduğundan argümanları eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çözme

x = 7

veya

x = -2

x^2 - 4x + 3 = x + 17 \implies x^2 - 5x - 14 = 0 \implies (x - 7)(x + 2) = 0

olur.

Bulunan köklerin tanım kümesi şartına uygunluğunu denetleme

x = 7

geçerli kök,

x = -2

geçersiz kök

x = -2

değeri

x > 3

tanım kümesi şartını sağlamadığından yalancı köktür.

Logaritmik denklemlerin çözümünde elde edilen köklerin mutlaka logaritmanın tanım kümesi kuralları ile kontrol edilmesi gerekir.

Soru