x > 1 olmak üzere, \arctan\left(\frac{x}{x+1}\right) - \arctan\left(\frac{x-1}{x}\right) =… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x > 1

olmak üzere,

\arctan\left(\frac{x}{x+1}\right) - \arctan\left(\frac{x-1}{x}\right) = \arctan\left(\frac{1}{32}\right)

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

Eşitliği sağlayan pozitif gerçel say�� değeri 4'tür.

Eşitliğin sol tarafındaki ifadelere sırasıyla

a

b

diyerek tanjant fark formülü uygulandığında

\tan(a-b) = \frac{1}{2x^2}

ifadesi elde edilir. Sağ tarafın tanjantı olan

\frac{1}{32}

değerine eşitlendiğinde

2x^2 = 32

denkleminden

x^2 = 16

bulunur.

x > 1

koşulu altında bu denklemin tek çözümü

4

olur. Bu nedenle doğru cevap 4 değeridir.

Eşitliğin sol tarafındaki ifadelere değişken tanımlanır.

a = \arctan\left(\frac{x}{x+1}\right)

b = \arctan\left(\frac{x-1}{x}\right)

olsun. Buradan

\tan(a) = \frac{x}{x+1}

\tan(b) = \frac{x-1}{x}

elde edilir.

Ters trigonometrik fonksiyonları tanjant değerlerine dönüştürerek toplam-fark formülünü uygulayabilmek.

Tanjant fark formülü kurulur.

\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(b)}

İki açının farkının tanjantını veren formülü uygulamak.

Tanjant fark formülünün pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılır.

\tan(a) - \tan(b) = \frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x} = \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}

Pay kısmını sadeleştirmek.

Tanjant fark formülünün payda kısmındaki çarpma ve toplama işlemleri yapılır.

1 + \tan(a) \cdot \tan(b) = 1 + \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x-1}{x} = 1 + \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1 + x-1}{x+1} = \frac{2x}{x+1}

Payda kısmını sadeleştirmek.

Pay ve payda birbirine oranlanarak

\tan(a-b)

ifadesi

x

cinsinden bulunur.

\tan(a - b) = \frac{\frac{1}{x(x+1)}}{\frac{2x}{x+1}} = \frac{1}{x(x+1)} \cdot \frac{x+1}{2x} = \frac{1}{2x^2}

İfadenin en sade halini elde etmek.

Bulunan tanjant değeri, eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin tanjantı olan

\frac{1}{32}

değerine eşitlenerek denklem çözülür.

\frac{1}{2x^2} = \frac{1}{32} \implies 2x^2 = 32 \implies x^2 = 16

Buradan

x > 1

koşulu altında

x = 4

bulunur.

Bilinmeyen

x

değerini bulmak.

İki açının farkının tanjantı formülü ve ters trigonometrik fonksiyonların özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru