Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBinom Açılımı
(2x2+1x)n\left(2x^2 + \frac{1}{x}\right)^n ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında sabit terim baştan 5. terimdir. Buna göre, bu açılımdaki terimlerin katsayılar toplamı kaçtır?
  1. A
    60
  2. B
    64
  3. C
    243
  4. 729Cevap
  5. E
    2187

Cevap

729
Açılımdaki baştan 5. terim r=4r=4 durumuna karşılık gelir. Genel terim ifadesinde xx'in üssü sıfıra eşitlendiğinde 2n−12=02n-12=0 denkleminden n=6n=6 bulunur. Katsayılar toplamını bulmak için açılımdaki değişken yerine x=1x=1 yazıldığında (2+1)6=36=729(2+1)^6 = 3^6 = 729 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü yazılır.
(nr)(2x2)n−r(1x)r=(nr)2n−rx2n−2rx−r=(nr)2n−rx2n−3r\binom{n}{r} (2x^2)^{n-r} \left(\frac{1}{x}\right)^r = \binom{n}{r} 2^{n-r} x^{2n-2r} x^{-r} = \binom{n}{r} 2^{n-r} x^{2n-3r}
Binom açılımındaki terimlerin değişken kuvvetini ve katsayısını belirlemek için genel terim ifadesi düzenlenir.
2
Baştan 5. terim için rr değeri belirlenir.
r=4r = 4 olmalıdır.
Baştan (r+1)(r+1). terim ifadesinden dolayı, 5. terim için r=5−1=4r = 5 - 1 = 4 alınır.
3
Sabit terim koşulu kullanılarak nn değeri bulunur.
2n−3r=0⇒2n−3(4)=0⇒2n=12⇒n=62n - 3r = 0 \Rightarrow 2n - 3(4) = 0 \Rightarrow 2n = 12 \Rightarrow n = 6
Sabit terimde xx değişkeninin üssü sıfıra eşit olmalıdır.
4
Katsayılar toplamı hesaplanır.
x=1x = 1 yazılarak (2(1)2+1)6=36=729(2(1)^2 + 1)^6 = 3^6 = 729 bulunur.
Bir açılımın katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 1 yazılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü yardımıyla belirli bir terimin bulunması, sabit terim için değişken üssünün sıfıra eşitlenmesi ve katsayılar toplamı için değişken yerine 1 yazılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru